Номер 1304, страница 334 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 14 - номер 1304, страница 334.

Условие.

1304 Все плоские углы тетраэдра $OABC$ при вершине $O$ — прямые. Докажите, что квадрат площади треугольника $ABC$ равен сумме квадратов площадей остальных граней (пространственная теорема Пифагора).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан тетраэдр $OABC$, у которого все плоские углы при вершине $O$ прямые. Это означает, что рёбра $OA$, $OB$ и $OC$ попарно перпендикулярны: $OA \perp OB$, $OB \perp OC$ и $OC \perp OA$.

Для доказательства введём прямоугольную систему координат с началом в точке $O$. Направим оси координат вдоль рёбер тетраэдра: ось $Ox$ вдоль $OA$, ось $Oy$ вдоль $OB$ и ось $Oz$ вдоль $OC$.

Обозначим длины рёбер, выходящих из вершины $O$, как $OA = a$, $OB = b$, $OC = c$. В выбранной системе координат вершины тетраэдра будут иметь следующие координаты:$O(0, 0, 0)$, $A(a, 0, 0)$, $B(0, b, 0)$, $C(0, 0, c)$.

Грани $OAB$, $OBC$ и $OCA$ являются прямоугольными треугольниками, так как их стороны лежат на осях координат. Найдём их площади:

• Площадь треугольника $OAB$: $S_{OAB} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} ab$
• Площадь треугольника $OBC$: $S_{OBC} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot OC = \frac{1}{2} bc$
• Площадь треугольника $OCA$: $S_{OCA} = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OA = \frac{1}{2} ca$

Теперь найдём сумму квадратов этих площадей:$(S_{OAB})^2 + (S_{OBC})^2 + (S_{OCA})^2 = (\frac{1}{2} ab)^2 + (\frac{1}{2} bc)^2 + (\frac{1}{2} ca)^2 = \frac{1}{4} a^2 b^2 + \frac{1}{4} b^2 c^2 + \frac{1}{4} c^2 a^2 = \frac{1}{4} (a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2)$.

Далее, найдём площадь грани $ABC$. Площадь треугольника, заданного координатами его вершин, можно найти через векторное произведение. Составим векторы двух сторон треугольника, например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:$\vec{AB} = B - A = (0-a, b-0, 0-0) = (-a, b, 0)$$\vec{AC} = C - A = (0-a, 0-0, c-0) = (-a, 0, c)$

Площадь треугольника $ABC$ равна половине модуля векторного произведения этих векторов:$S_{ABC} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$

Вычислим векторное произведение:$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -a & b & 0 \\ -a & 0 & c \end{vmatrix} = \vec{i}(bc - 0) - \vec{j}(-ac - 0) + \vec{k}(0 - (-ab)) = (bc, ac, ab)$.

Модуль этого вектора равен:$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(bc)^2 + (ac)^2 + (ab)^2} = \sqrt{b^2c^2 + a^2c^2 + a^2b^2}$.

Следовательно, площадь треугольника $ABC$ равна:$S_{ABC} = \frac{1}{2} \sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2}$.

Возведём площадь треугольника $ABC$ в квадрат:$(S_{ABC})^2 = \left( \frac{1}{2} \sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2} \right)^2 = \frac{1}{4} (a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)$.

Сравнивая полученные выражения для квадрата площади треугольника $ABC$ и суммы квадратов площадей остальных граней, мы видим, что они равны:$(S_{ABC})^2 = (S_{OAB})^2 + (S_{OBC})^2 + (S_{OCA})^2$. Что и требовалось доказать.

Ответ: равенство $(S_{ABC})^2 = (S_{OAB})^2 + (S_{OBC})^2 + (S_{OCA})^2$ доказано.