Номер 1305, страница 334 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 14 - номер 1305, страница 334.

Условие.

1305 Докажите, что сечением куба может быть правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Правильный треугольник

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с длиной ребра $a$. Построим сечение плоскостью, проходящей через вершины $B$, $D$ и $A_1$.

Полученное сечение — это треугольник $BDA_1$. Найдем длины его сторон. Каждая сторона этого треугольника является диагональю одной из граней куба.

Длина диагонали грани куба с ребром $a$ вычисляется по теореме Пифагора и равна $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Следовательно, длины сторон треугольника равны:

• $BD = a\sqrt{2}$ (диагональ грани $ABCD$)
• $A_1B = a\sqrt{2}$ (диагональ грани $AA_1B_1B$)
• $A_1D = a\sqrt{2}$ (диагональ грани $AA_1D_1D$)

Поскольку все стороны треугольника $BDA_1$ равны, он является равносторонним, то есть правильным. Таким образом, сечением куба может быть правильный треугольник.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Квадрат

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$. Проведем секущую плоскость параллельно любой его грани, например, грани $ABCD$. Пусть плоскость проходит на некотором расстоянии $h$ от нее, где $0 < h < a$.

Такая плоскость пересечет четыре вертикальных ребра куба: $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$ в точках $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно.

Полученное сечение $KLMN$ является четырехугольником. Поскольку секущая плоскость параллельна плоскости основания $ABCD$, то $KLMN$ является прямоугольником, стороны которого параллельны и равны соответствующим сторонам основания: $KL = AB = a$ и $LM = BC = a$.

Прямоугольник, у которого смежные стороны равны, является квадратом. Таким образом, сечением куба может быть квадрат.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Правильный шестиугольник

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$. Построим сечение плоскостью, проходящей через середины шести ребер: $AB$, $BC$, $CC_1$, $C_1D_1$, $D_1A_1$ и $A_1A$. Обозначим эти точки $M_1$, $M_2$, $M_3$, $M_4$, $M_5$, $M_6$ соответственно.

Фигура сечения — шестиугольник $M_1M_2M_3M_4M_5M_6$.

1. Найдем длины сторон. Каждая сторона шестиугольника соединяет середины двух смежных ребер куба, выходящих из одной вершины. Например, сторона $M_1M_2$ соединяет середины ребер $AB$ и $BC$. В прямоугольном треугольнике $M_1BM_2$ на грани $ABCD$ катеты равны $BM_1 = a/2$ и $BM_2 = a/2$. Длина гипотенузы $M_1M_2$ по теореме Пифагора равна:

$M_1M_2 = \sqrt{(a/2)^2 + (a/2)^2} = \sqrt{\frac{2a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Аналогично, все остальные стороны шестиугольника являются гипотенузами равных прямоугольных треугольников с катетами $a/2$, следовательно, все стороны шестиугольника равны $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

2. Планарность и регулярность. Можно доказать, что все шесть точек $M_1, \dots, M_6$ лежат в одной плоскости. Эта плоскость перпендикулярна главной диагонали куба, соединяющей вершины, которые не примыкают к ребрам сечения (в данном случае это диагональ $DB_1$), и проходит через центр куба.

В силу симметрии куба относительно его центра и главной диагонали, полученный плоский шестиугольник, все стороны которого равны, является правильным. Все его внутренние углы равны $120^\circ$.

Таким образом, сечением куба может быть правильный шестиугольник.

Ответ: Что и требовалось доказать.