Номер 1306, страница 334 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 14 - номер 1306, страница 334.

Условие.

1306 Комната имеет форму куба. Паук, сидящий в середине ребра, хочет, двигаясь по кратчайшему пути, поймать муху, сидящую в одной из самых удалённых от него вершин куба. Как должен двигаться паук?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть комната имеет форму куба с длиной ребра $a$. Для определения траектории движения паука введем систему координат. Поместим одну из вершин куба в начало координат (0, 0, 0), а ребра направим вдоль осей Ox, Oy, Oz. Пусть паук находится в точке П, которая является серединой ребра, лежащего на оси Ox. Координаты паука: П($\frac{a}{2}$, 0, 0).

Сначала определим, какая из вершин куба является самой удаленной от паука. Для этого вычислим расстояние (по прямой в пространстве) от точки П до каждой из восьми вершин куба.

• Расстояние до вершин (0, 0, 0) и ($a$, 0, 0) равно $\frac{a}{2}$.
• Расстояние до вершин (0, $a$, 0), ($a$, $a$, 0), (0, 0, $a$) и ($a$, 0, $a$) равно $\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + a^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.
• Расстояние до вершин (0, $a$, $a$) и ($a$, $a$, $a$) равно $\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{4}} = \frac{3a}{2}$.

Наибольшее расстояние равно $\frac{3a}{2}$, следовательно, самые удаленные от паука вершины — это (0, $a$, $a$) и ($a$, $a$, $a$). Выберем одну из них в качестве цели, пусть муха (М) находится в вершине с координатами ($a$, $a$, $a$).

Кратчайший путь по поверхности куба находится с помощью его развертки. На плоской развертке кратчайший путь между двумя точками — это прямая линия. Паук находится на ребре, общем для передней грани (плоскость y=0) и нижней грани (плоскость z=0). Муха находится в вершине, общей для правой (x=$a$), задней (y=$a$) и верхней (z=$a$) граней. Рассмотрим возможные развертки, соединяющие паука и муху.

1. Путь по передней и правой граням.Развернем переднюю и правую грани в одну плоскость. На этой развертке начальная точка паука П будет иметь координаты ($\frac{a}{2}$, 0), а конечная точка (муха М) — координаты (2$a$, $a$). Длина этого пути $L_1$ равна расстоянию между этими точками на плоскости:$L_1 = \sqrt{(2a - \frac{a}{2})^2 + (a - 0)^2} = \sqrt{(\frac{3a}{2})^2 + a^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{13a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{13}}{2}$.

2. Путь по передней и верхней граням.Развернем переднюю и верхнюю грани. На этой развертке точка паука П будет иметь координаты ($\frac{a}{2}$, 0), а точка мухи М — ($a$, 2$a$). Длина пути $L_2$ в этом случае:$L_2 = \sqrt{(a - \frac{a}{2})^2 + (2a - 0)^2} = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + 4a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{16a^2}{4}} = \sqrt{\frac{17a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{17}}{2}$.

Сравнивая полученные длины, видим, что $L_1 < L_2$, так как $\sqrt{13} < \sqrt{17}$. Следовательно, кратчайший путь лежит по двум смежным граням, таким как передняя и правая. Чтобы описать движение паука, найдем точку, в которой его путь пересекает общее ребро этих граней. На развертке путь является прямой, соединяющей точки ($\frac{a}{2}$, 0) и (2$a$, $a$). Ребро соответствует вертикальной линии $x=a$. Высоту $h$ точки пересечения над нижней гранью можно найти из подобия треугольников:$\frac{h}{a - \frac{a}{2}} = \frac{a}{2a - \frac{a}{2}} \implies \frac{h}{a/2} = \frac{a}{3a/2} \implies h = \frac{a}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{a}{3}$. Таким образом, паук должен пересечь ребро на высоте $\frac{1}{3}$ его длины.

В силу симметрии задачи существует второй, аналогичный по длине путь: по нижней грани, а затем по правой.

Ответ: Паук должен двигаться по одному из двух маршрутов, состоящих из двух прямолинейных отрезков на смежных гранях куба. Пусть ребро куба равно $a$.
1. Паук ползет по прямой от середины ребра на передней стене до точки на переднем правом вертикальном ребре, находящейся на высоте $\frac{a}{3}$ от пола. От этой точки он ползет по прямой по правой стене до самой мухи.
2. Альтернативный путь: паук ползет по прямой по полу до точки на правом ребре пола, находящейся на расстоянии $\frac{a}{3}$ от передней стены. От этой точки он ползет по прямой по правой стене до мухи.