Номер 1308, страница 334 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 14 - номер 1308, страница 334.

Условие.

1308 Плоскости $AB_1C_1$ и $A_1BC$ разбивают правильную треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$ на четыре части. Найдите объёмы этих частей, если объём призмы равен $V$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$ с объемом $V$. Пусть $S$ - площадь основания $ABC$, а $H$ - высота призмы. Тогда объем призмы равен $V = S \cdot H$.

Рассмотрим две плоскости, разбивающие призму: $\pi_1$, проходящая через точки $A, B_1, C_1$, и $\pi_2$, проходящая через точки $A_1, B, C$.

1. Определение объемов, отсекаемых каждой плоскостью по отдельности.

Плоскость $\pi_2=(A_1BC)$ отсекает от призмы тетраэдр $T_1=A_1ABC$. Основанием этого тетраэдра является основание призмы $ABC$ с площадью $S$, а его высота совпадает с высотой призмы $H$ (расстояние от вершины $A_1$ до плоскости $ABC$). Объем этого тетраэдра равен:

$V(T_1) = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H = \frac{1}{3} S \cdot H = \frac{1}{3}V$

Аналогично, плоскость $\pi_1=(AB_1C_1)$ отсекает от призмы тетраэдр $T_2=AA_1B_1C_1$. Его основанием является верхнее основание призмы $A_1B_1C_1$ с площадью $S$, а его высота, равная расстоянию от вершины $A$ до плоскости $A_1B_1C_1$, также совпадает с высотой призмы $H$. Объем этого тетраэдра равен:

$V(T_2) = \frac{1}{3} S_{A_1B_1C_1} \cdot H = \frac{1}{3} S \cdot H = \frac{1}{3}V$

2. Определение четырех частей призмы.

Две плоскости $\pi_1$ и $\pi_2$ разбивают все пространство на четыре области. Соответственно, призма также разбивается на четыре части. Эти части являются пересечениями тел, отсекаемых плоскостями, и их дополнений в призме.

Пусть $P_1$ - это часть призмы, отсекаемая плоскостью $\pi_2$, то есть тетраэдр $T_1=A_1ABC$. Пусть $P_1^c$ - его дополнение в призме. Пусть $P_2$ - это часть призмы, отсекаемая плоскостью $\pi_1$, то есть тетраэдр $T_2=AA_1B_1C_1$. Пусть $P_2^c$ - его дополнение в призме.

Тогда четыре искомые части - это:

1. $V_a = V(P_1 \cap P_2) = V(T_1 \cap T_2)$
2. $V_b = V(P_1 \cap P_2^c) = V(T_1) - V(T_1 \cap T_2)$
3. $V_c = V(P_1^c \cap P_2) = V(T_2) - V(T_1 \cap T_2)$
4. $V_d = V(P_1^c \cap P_2^c)$

3. Вычисление объема пересечения тетраэдров.

Найдем объем общей части тетраэдров $T_1$ и $T_2$. Их пересечение $T_1 \cap T_2$ - это тоже тетраэдр. Его вершины - это общие вершины $A$ и $A_1$, а также точки пересечения ребер одного тетраэдра с гранями другого. Ребра $A_1B$ и $A_1C$ тетраэдра $T_1$ пересекают плоскость $(AB_1C_1)$, которая является гранью тетраэдра $T_2$. Точка пересечения $A_1B$ и $AB_1$ - это центр боковой грани $ABB_1A_1$. Обозначим его $O_{AB}$. Аналогично, точка пересечения $A_1C$ и $AC_1$ - это центр грани $ACC_1A_1$. Обозначим его $O_{AC}$.

Таким образом, пересечением является тетраэдр $AA_1O_{AB}O_{AC}$. Найдем его объем с помощью векторов. Поместим начало координат в точку $A$. Пусть $\vec{AA_1} = \vec{h}$, $\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$.

Так как $O_{AB}$ - середина отрезка $AB_1$, то $\vec{AO_{AB}} = \frac{1}{2}(\vec{AA} + \vec{AB_1}) = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AA_1}) = \frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{h})$.

Аналогично, $\vec{AO_{AC}} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{AA_1}) = \frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{h})$.

Объем тетраэдра $AA_1O_{AB}O_{AC}$ равен $V_a = \frac{1}{6} |(\vec{AA_1} \times \vec{AO_{AB}}) \cdot \vec{AO_{AC}}|$.

$\vec{AA_1} \times \vec{AO_{AB}} = \vec{h} \times \frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{h}) = \frac{1}{2}(\vec{h} \times \vec{b} + \vec{h} \times \vec{h}) = \frac{1}{2}(\vec{h} \times \vec{b})$

$V_a = \frac{1}{6} |\frac{1}{2}(\vec{h} \times \vec{b}) \cdot \frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{h})| = \frac{1}{24} |(\vec{h} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} + (\vec{h} \times \vec{b}) \cdot \vec{h}|$

Смешанное произведение $(\vec{h} \times \vec{b}) \cdot \vec{h}$ равно нулю, так как содержит два одинаковых вектора.

$V_a = \frac{1}{24} |(\vec{h} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

Выражение $|(\vec{h} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$ равно объему параллелепипеда, построенного на векторах $\vec{h}, \vec{b}, \vec{c}$. Так как призма правильная, вектор высоты $\vec{h}$ перпендикулярен плоскости основания, в которой лежат векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Объем этого параллелепипеда равен произведению площади основания (параллелограмма на векторах $\vec{b}, \vec{c}$) на высоту $|\vec{h}|=H$. Площадь параллелограмма равна $2S$.

Следовательно, $|(\vec{h} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = H \cdot (2S) = 2(S \cdot H) = 2V$.

Тогда объем пересечения: $V_a = \frac{1}{24}(2V) = \frac{V}{12}$.

4. Вычисление объемов остальных частей.

Теперь мы можем найти объемы остальных трех частей:

$V_b = V(T_1) - V_a = \frac{V}{3} - \frac{V}{12} = \frac{4V-V}{12} = \frac{3V}{12} = \frac{V}{4}$

$V_c = V(T_2) - V_a = \frac{V}{3} - \frac{V}{12} = \frac{4V-V}{12} = \frac{3V}{12} = \frac{V}{4}$

Объем последней, центральной части найдем, вычитая объемы найденных частей из общего объема призмы:

$V_d = V - (V_a + V_b + V_c) = V - (\frac{V}{12} + \frac{V}{4} + \frac{V}{4}) = V - (\frac{V}{12} + \frac{6V}{12}) = V - \frac{7V}{12} = \frac{5V}{12}$

Таким образом, объемы четырех частей, на которые плоскости разбивают призму, равны $\frac{V}{12}$, $\frac{V}{4}$, $\frac{V}{4}$ и $\frac{5V}{12}$.

Ответ: Объемы четырех частей равны $\frac{1}{12}V$, $\frac{3}{12}V$ (или $\frac{1}{4}V$), $\frac{3}{12}V$ (или $\frac{1}{4}V$) и $\frac{5}{12}V$.