Номер 1302, страница 334 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 13 - номер 1302, страница 334.

Условие.

1302 ☐ Даны точки $A$ и $B$ и две пересекающиеся прямые $c$ и $d$. Постройте параллелограмм $ABCD$ так, чтобы вершины $C$ и $D$ лежали соответственно на прямых $c$ и $d$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения данной задачи на построение воспользуемся методом параллельного переноса. Разделим решение на три этапа: анализ, построение и обоснование.

Анализ

Пусть $ABCD$ — искомый параллелограмм. По определению, его противоположные стороны равны и параллельны, что можно выразить векторным равенством $\vec{AB} = \vec{DC}$. Это равенство можно переписать как $\vec{CD} = \vec{BA}$. Оно означает, что вершина $D$ может быть получена из вершины $C$ с помощью параллельного переноса на вектор $\vec{BA}$.
Обозначим этот перенос как $T_{\vec{BA}}$. Тогда $D = T_{\vec{BA}}(C)$.
По условию задачи, вершина $C$ лежит на прямой $c$ ($C \in c$), а вершина $D$ — на прямой $d$ ($D \in d$).
Поскольку точка $C$ принадлежит прямой $c$, ее образ $D$ при переносе $T_{\vec{BA}}$ должен принадлежать образу прямой $c$ при этом же переносе. Обозначим образ прямой $c$ через $c'$, т.е. $c' = T_{\vec{BA}}(c)$. По свойству параллельного переноса, прямая $c'$ будет параллельна прямой $c$.
Таким образом, вершина $D$ должна удовлетворять двум условиям: $D \in d$ (по условию) и $D \in c'$ (по свойству параллелограмма). Это означает, что точка $D$ является точкой пересечения прямых $d$ и $c'$.

Построение

1. Построить прямую $c'$, являющуюся образом прямой $c$ при параллельном переносе на вектор $\vec{BA}$. Для этого:
а) Выбрать на прямой $c$ произвольную точку $P$.
б) Построить точку $P'$ такую, что $\vec{PP'} = \vec{BA}$.
в) Через точку $P'$ провести прямую $c'$, параллельную прямой $c$.
2. Найти точку пересечения прямых $c'$ и $d$. Обозначить её буквой $D$. Это одна из искомых вершин.
3. Построить вершину $C$. Из равенства $\vec{AB} = \vec{DC}$ следует, что $C$ получается из $D$ переносом на вектор $\vec{AB}$. Построить точку $C$ так, чтобы $\vec{DC} = \vec{AB}$.
4. Соединить точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Четырехугольник $ABCD$ – искомый параллелограмм.

Обоснование

Построенный четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, так как по построению $\vec{DC} = \vec{AB}$.
Вершина $D$ лежит на прямой $d$ (как точка пересечения $c'$ и $d$).
Вершина $C$ является прообразом точки $D$ при переносе $T_{\vec{BA}}$. Так как $D$ лежит на $c'$ (образе $c$), то $C$ лежит на прямой $c$.
Задача имеет решение, если прямые $c'$ и $d$ пересекаются. По построению $c' \parallel c$. По условию, прямые $c$ и $d$ пересекаются, значит, они не параллельны. Следовательно, прямая $d$ не параллельна и прямой $c'$, а значит, они пересекаются в единственной точке. Таким образом, задача всегда имеет единственное решение.

Ответ: Искомый параллелограмм строится путем нахождения вершины $D$ как пересечения прямой $d$ и прямой $c'$, являющейся образом прямой $c$ при параллельном переносе на вектор $\vec{BA}$. Вершина $C$ затем находится параллельным переносом точки $D$ на вектор $\vec{AB}$.