Номер 1296, страница 334 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 13 - номер 1296, страница 334.

Условие.

1296 Вершины одного параллелограмма лежат соответственно на сторонах другого параллелограмма. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих параллелограммов совпадают.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть $ABCD$ — внешний параллелограмм, а $EFGH$ — внутренний. Пусть $O_1$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$, а $O_2$ — точка пересечения диагоналей $EG$ и $FH$ параллелограмма $EFGH$. Нам нужно доказать, что точки $O_1$ и $O_2$ совпадают.

Для доказательства воспользуемся методом векторов. Пусть $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ — радиус-векторы вершин $A, B, C, D$ соответственно, а $\vec{e}, \vec{f}, \vec{g}, \vec{h}$ — радиус-векторы вершин $E, F, G, H$.

Точка пересечения диагоналей параллелограмма является их серединой. Поэтому радиус-векторы точек $O_1$ и $O_2$ можно выразить как:
$\vec{o_1} = \frac{\vec{a}+\vec{c}}{2} = \frac{\vec{b}+\vec{d}}{2}$
$\vec{o_2} = \frac{\vec{e}+\vec{g}}{2} = \frac{\vec{f}+\vec{h}}{2}$

По условию задачи, вершины параллелограмма $EFGH$ лежат соответственно на сторонах параллелограмма $ABCD$. Пусть вершина $E$ лежит на стороне $AB$, $F$ — на $BC$, $G$ — на $CD$, а $H$ — на $DA$. Это означает, что радиус-векторы вершин $E, F, G, H$ можно представить в виде линейной комбинации векторов вершин соответствующих сторон:
$\vec{e} = (1-k)\vec{a} + k\vec{b}$, для некоторого $k \in [0, 1]$
$\vec{f} = (1-l)\vec{b} + l\vec{c}$, для некоторого $l \in [0, 1]$
$\vec{g} = (1-m)\vec{c} + m\vec{d}$, для некоторого $m \in [0, 1]$
$\vec{h} = (1-n)\vec{d} + n\vec{a}$, для некоторого $n \in [0, 1]$

Поскольку $EFGH$ — параллелограмм, то сумма радиус-векторов его противолежащих вершин равна, то есть выполняется векторное равенство $\vec{e}+\vec{g} = \vec{f}+\vec{h}$. Подставим в это равенство выражения для векторов:
$((1-k)\vec{a} + k\vec{b}) + ((1-m)\vec{c} + m\vec{d}) = ((1-l)\vec{b} + l\vec{c}) + ((1-n)\vec{d} + n\vec{a})$

Перенесём все члены в левую часть и сгруппируем их при одинаковых векторах:
$\vec{a}(1-k-n) + \vec{b}(k-(1-l)) + \vec{c}((1-m)-l) + \vec{d}(m-(1-n)) = \vec{0}$
$\vec{a}(1-k-n) + \vec{b}(k+l-1) + \vec{c}(1-m-l) + \vec{d}(m+n-1) = \vec{0}$

Так как $ABCD$ — параллелограмм, его стороны $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ можно выбрать в качестве базисных векторов. Выберем вершину $A$ в качестве начала координат, тогда $\vec{a}=\vec{0}$. Векторы сторон, выходящих из неё, будут $\vec{b}$ и $\vec{d}$. Тогда радиус-вектор вершины $C$ будет $\vec{c} = \vec{b}+\vec{d}$. Подставим $\vec{a}=\vec{0}$ и $\vec{c}=\vec{b}+\vec{d}$ в полученное уравнение:
$\vec{0}(1-k-n) + \vec{b}(k+l-1) + (\vec{b}+\vec{d})(1-m-l) + \vec{d}(m+n-1) = \vec{0}$
$\vec{b}(k+l-1) + \vec{b}(1-m-l) + \vec{d}(1-m-l) + \vec{d}(m+n-1) = \vec{0}$
$\vec{b}(k+l-1+1-m-l) + \vec{d}(1-m-l+m+n-1) = \vec{0}$
$\vec{b}(k-m) + \vec{d}(n-l) = \vec{0}$

Поскольку векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$ (соответствующие сторонам $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$) линейно независимы (так как $ABCD$ — невырожденный параллелограмм), то равенство возможно только в том случае, если коэффициенты при них равны нулю:
$k-m=0 \implies k=m$
$n-l=0 \implies n=l$

Теперь найдём радиус-вектор точки $O_2$, используя выведенные соотношения:
$\vec{o_2} = \frac{\vec{e}+\vec{g}}{2} = \frac{1}{2}(((1-k)\vec{a} + k\vec{b}) + ((1-m)\vec{c} + m\vec{d}))$
Так как $k=m$, то:
$\vec{o_2} = \frac{1}{2}((1-k)\vec{a} + k\vec{b} + (1-k)\vec{c} + k\vec{d})$
$\vec{o_2} = \frac{1}{2}((1-k)(\vec{a}+\vec{c}) + k(\vec{b}+\vec{d}))$

Из свойства параллелограмма $ABCD$ мы знаем, что $\vec{a}+\vec{c} = \vec{b}+\vec{d}$. Также мы знаем, что $\vec{o_1} = \frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}$, откуда $\vec{a}+\vec{c} = 2\vec{o_1}$. Следовательно, и $\vec{b}+\vec{d} = 2\vec{o_1}$. Подставим эти выражения в формулу для $\vec{o_2}$:
$\vec{o_2} = \frac{1}{2}((1-k)(2\vec{o_1}) + k(2\vec{o_1}))$
$\vec{o_2} = \frac{1}{2}(2\vec{o_1}(1-k+k)) = \frac{1}{2}(2\vec{o_1}) = \vec{o_1}$

Таким образом, мы доказали, что $\vec{o_1} = \vec{o_2}$, что означает, что точки пересечения диагоналей двух параллелограммов совпадают.

Ответ: что и требовалось доказать.