Номер 1291, страница 333 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 13 - номер 1291, страница 333.

Условие.

1291 При данном движении $g$ точка $A$ отображается в точку $B$, а точка $B$ — в точку $A$. Докажите, что $g$ — центральная симметрия или осевая симметрия.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть $g$ — данное движение (изометрия плоскости), для которого по условию точка $A$ отображается в точку $B$, а точка $B$ отображается в точку $A$. Математически это можно записать так:

$g(A) = B$

$g(B) = A$

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Точки $A$ и $B$ совпадают, то есть $A = B$.

В этом случае условие задачи принимает вид $g(A) = A$. Это означает, что точка $A$ является неподвижной точкой движения $g$. Этому условию удовлетворяет как центральная симметрия с центром в точке $A$, так и любая осевая симметрия, ось которой проходит через точку $A$. Таким образом, в этом вырожденном случае утверждение верно.

Случай 2: Точки $A$ и $B$ различны, то есть $A \neq B$.

Это основной случай. Рассмотрим композицию движения $g$ с самим собой, то есть $g \circ g$. Применим это составное преобразование к точке $A$:

$g(g(A)) = g(B) = A$

Таким образом, применение движения $g$ дважды возвращает точку $A$ в исходное положение (и аналогично для точки $B$). Преобразование, которое после двукратного применения возвращает все точки на свои места, является тождественным преобразованием ($id$). Следовательно, $g \circ g = id$.

Движения, которые являются обратными самим себе, называются инволюциями. На плоскости существует только три типа инволютивных движений:

1. Тождественное преобразование (каждая точка остается на месте).

2. Центральная симметрия (поворот на $180^\circ$ вокруг центра симметрии).

3. Осевая симметрия (отражение относительно оси симметрии).

Поскольку мы рассматриваем случай, когда $A \neq B$, а $g(A) = B$, движение $g$ сдвигает точку $A$, а значит, оно не является тождественным преобразованием.

Следовательно, остаются только две возможности: $g$ является центральной симметрией или осевой симметрией.

• Если $g$ — центральная симметрия, то ее центр должен быть серединой отрезка $AB$.
• Если $g$ — осевая симметрия, то ее осью должен быть серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

Таким образом, мы доказали, что в любом случае движение $g$ является либо центральной, либо осевой симметрией.

Ответ: Утверждение доказано: $g$ — центральная симметрия или осевая симметрия.