Номер 1288, страница 333 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 12 - номер 1288, страница 333.

Условие.

1288 По данным рисунка 372 докажите, что длина отрезка $AC$ равна длине окружности с центром $O$ радиуса $R$ с точностью до $0.001R$.

$BC = 6R$

$60^\circ$

Рис. 372

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим центр окружности, точку О, в начало координат (0, 0). Направим ось абсцисс (Ox) вдоль диаметра AB. Тогда точки A и B будут иметь координаты A(-R, 0) и B(R, 0) соответственно.

Согласно условию, точка C лежит на вертикальной прямой, проходящей через точку B. Это означает, что абсцисса точки C равна R. Длина отрезка BC задана как $6R$. Следовательно, ордината точки C равна $6R$. Таким образом, координаты точки C: $(R, 6R)$.

Теперь найдем длину отрезка AC, используя формулу расстояния между двумя точками $A(x_A, y_A)$ и $C(x_C, y_C)$:

$AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}$

Подставим координаты точек A и C:

$AC = \sqrt{(R - (-R))^2 + (6R - 0)^2} = \sqrt{(2R)^2 + (6R)^2} = \sqrt{4R^2 + 36R^2} = \sqrt{40R^2}$

$AC = R\sqrt{40} = 2\sqrt{10}R$

Длина окружности L с радиусом R вычисляется по формуле:

$L = 2\pi R$

Задача требует доказать, что длина отрезка AC равна длине окружности L с точностью до $0,001R$. Математически это выражается неравенством:

$|AC - L| \le 0,001R$

Подставим полученные выражения для AC и L:

$|2\sqrt{10}R - 2\pi R| \le 0,001R$

Так как $R > 0$, мы можем разделить все части неравенства на R:

$|2\sqrt{10} - 2\pi| \le 0,001$

$2|\sqrt{10} - \pi| \le 0,001$

$|\sqrt{10} - \pi| \le 0,0005$

Для проверки этого неравенства воспользуемся приближенными значениями для $\sqrt{10}$ и $\pi$:

$\pi \approx 3,14159$

$\sqrt{10} \approx 3,16228$

Вычислим абсолютную разность:

$|\sqrt{10} - \pi| \approx |3,16228 - 3,14159| = 0,02069$

Теперь сравним полученный результат с требуемой точностью:

$0,02069 > 0,0005$

Неравенство не выполняется. Следовательно, утверждение, данное в задаче, неверно. Фактическая разница между длиной отрезка AC и длиной окружности составляет:

$|AC - L| = 2R|\sqrt{10} - \pi| \approx 2R \cdot 0,02069 = 0,04138R$

Это значение примерно в 41 раз больше, чем указанная в условии точность $0,001R$.

Ответ: Утверждение, приведенное в задаче, не является верным. Расчет показывает, что длина отрезка AC равна $2\sqrt{10}R$, а длина окружности $L=2\pi R$. Абсолютная разница между этими величинами $|AC - L| \approx 0,0414R$, что значительно превышает требуемую точность в $0,001R$. Вероятнее всего, в условии задачи содержится опечатка.