Номер 1282, страница 332 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 12 - номер 1282, страница 332.

Условие.

1282* В данную окружность впишите правильный десятиугольник.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для построения правильного десятиугольника, вписанного в данную окружность, необходимо найти длину его стороны. Сторона правильного десятиугольника ($a_{10}$), вписанного в окружность радиуса $R$, равна $a_{10} = R \frac{\sqrt{5}-1}{2}$. Эта величина представляет собой большую часть радиуса, разделенного в золотом сечении. Построение основано на нахождении этого отрезка с помощью циркуля и линейки.

Алгоритм построения:

1. Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Проведем в ней два взаимно перпендикулярных радиуса, $OA$ и $OB$.
2. Найдем середину одного из радиусов, например $OB$. Обозначим эту точку как $M$. (Это делается с помощью построения серединного перпендикуляра к отрезку $OB$). Таким образом, $OM = \frac{R}{2}$.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAM$. По теореме Пифагора, длина гипотенузы $AM$ равна: $AM = \sqrt{OA^2 + OM^2} = \sqrt{R^2 + (\frac{R}{2})^2} = \sqrt{R^2 + \frac{R^2}{4}} = \sqrt{\frac{5R^2}{4}} = \frac{R\sqrt{5}}{2}$.
4. Установим ножку циркуля в точку $M$ и проведем дугу радиусом $AM$. Эта дуга пересечет диаметр, проходящий через точки $B$ и $O$, в точке $K$, лежащей на радиусе, противоположном $OB$.
5. Длина отрезка $OK$ будет равна искомой стороне правильного десятиугольника. Докажем это. Длина $OK$ равна разности длин отрезков $MK$ и $OM$. Так как $MK$ является радиусом проведенной дуги, то $MK=AM$. Следовательно, $OK = AM - OM = \frac{R\sqrt{5}}{2} - \frac{R}{2} = R\frac{\sqrt{5}-1}{2} = a_{10}$.
6. Теперь, когда найден отрезок $OK$, равный стороне десятиугольника, построим сам многоугольник. Установим раствор циркуля равным длине $OK$.
7. Выберем на исходной окружности любую точку $P_1$ (первая вершина). Из нее, как из центра, проведем дугу радиусом $OK$, которая пересечет окружность в следующей точке $P_2$.
8. Из точки $P_2$ тем же раствором циркуля проведем дугу до пересечения с окружностью в точке $P_3$, и так далее. Повторив построение 9 раз, мы получим все 10 вершин ($P_1, P_2, \ldots, P_{10}$).
9. Соединив последовательно все полученные точки отрезками ($P_1P_2$, $P_2P_3$, ..., $P_{10}P_1$), получим искомый правильный десятиугольник, вписанный в данную окружность.

Ответ:

Построение правильного десятиугольника, вписанного в окружность, выполняется путем последовательного откладывания на окружности хорд, равных по длине стороне $a_{10} = R\frac{\sqrt{5}-1}{2}$. Длина этой стороны строится геометрически с помощью циркуля и линейки, как описано в приведенном выше алгоритме.