Номер 1275, страница 331 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 11 - номер 1275, страница 331.

Условие.

1275 Докажите, что стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей, перпендикулярна к одной из биссектрис треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства этого утверждения мы покажем, что оба условия — формирование сторонами арифметической прогрессии и перпендикулярность прямой, соединяющей центры окружностей, одной из биссектрис — эквивалентны одному и тому же тригонометрическому соотношению между углами треугольника.

Обозначим стороны треугольника, противолежащие вершинам $A, B, C$, как $a, b, c$ соответственно. Пусть $O$ — центр описанной окружности, $I$ — центр вписанной окружности, $R$ — радиус описанной окружности, $r$ — радиус вписанной окружности. Углы треугольника обозначим $\alpha, \beta, \gamma$.

1. Анализ условия перпендикулярности.

Пусть прямая $OI$, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей, перпендикулярна одной из биссектрис, например, биссектрисе угла $B$. Эта биссектриса проходит через точки $B$ и $I$. Условие $OI \perp BI$ означает, что треугольник $OBI$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $I$. По теореме Пифагора, это равносильно следующему равенству:

$OB^2 = OI^2 + IB^2$

Используем известные формулы для элементов треугольника. Во-первых, $OB = R$ по определению описанной окружности. Во-вторых, квадрат расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей определяется теоремой Эйлера: $OI^2 = R(R-2r)$. В-третьих, длина отрезка от вершины $B$ до центра вписанной окружности $I$ выражается как $IB = \frac{r}{\sin(\beta/2)}$.

Подставим эти выражения в равенство Пифагора:

$R^2 = R(R-2r) + \left(\frac{r}{\sin(\beta/2)}\right)^2$

$R^2 = R^2 - 2Rr + \frac{r^2}{\sin^2(\beta/2)}$

Перенеся слагаемые, получим:

$2Rr = \frac{r^2}{\sin^2(\beta/2)}$

Поскольку для невырожденного треугольника $r \neq 0$, можно разделить обе части на $r$:

$2R = \frac{r}{\sin^2(\beta/2)}$

Отсюда получаем условие, эквивалентное перпендикулярности $OI$ и $BI$:

$r = 2R \sin^2(\beta/2)$

Теперь преобразуем это равенство, используя другую известную формулу для радиуса вписанной окружности: $r = 4R \sin(\alpha/2)\sin(\beta/2)\sin(\gamma/2)$.

$4R \sin(\alpha/2)\sin(\beta/2)\sin(\gamma/2) = 2R \sin^2(\beta/2)$

Для невырожденного треугольника $R \neq 0$ и $\sin(\beta/2) \neq 0$. Сократив на $2R \sin(\beta/2)$, получаем тригонометрическое соотношение:

$2 \sin(\alpha/2)\sin(\gamma/2) = \sin(\beta/2)$

Используя формулу произведения синусов $2\sin(x)\sin(y) = \cos(x-y) - \cos(x+y)$, получаем:

$\cos\left(\frac{\alpha-\gamma}{2}\right) - \cos\left(\frac{\alpha+\gamma}{2}\right) = \sin(\beta/2)$

Так как $\alpha+\beta+\gamma = \pi$, то $\frac{\alpha+\gamma}{2} = \frac{\pi-\beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\beta}{2}$, и следовательно, $\cos\left(\frac{\alpha+\gamma}{2}\right) = \sin(\beta/2)$. Подставив это, имеем:

$\cos\left(\frac{\alpha-\gamma}{2}\right) - \sin(\beta/2) = \sin(\beta/2)$

$\cos\left(\frac{\alpha-\gamma}{2}\right) = 2\sin(\beta/2)$

Таким образом, условие $OI \perp BI$ эквивалентно соотношению $\cos\left(\frac{\alpha-\gamma}{2}\right) = 2\sin(\beta/2)$.

2. Анализ условия арифметической прогрессии.

Пусть стороны треугольника $a, b, c$ образуют арифметическую прогрессию. Это означает, что одна из сторон является средним арифметическим двух других. Без ограничения общности, пусть $a+c = 2b$.

По теореме синусов, $a = 2R\sin\alpha$, $b=2R\sin\beta$, $c=2R\sin\gamma$. Подставив эти выражения в условие прогрессии, получим:

$2R\sin\alpha + 2R\sin\gamma = 2(2R\sin\beta)$

$\sin\alpha + \sin\gamma = 2\sin\beta$

Применим формулу суммы синусов к левой части и формулу двойного угла к правой:

$2\sin\left(\frac{\alpha+\gamma}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\gamma}{2}\right) = 2 \cdot (2\sin(\beta/2)\cos(\beta/2))$

Используя снова, что $\sin\left(\frac{\alpha+\gamma}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\beta}{2}\right) = \cos(\beta/2)$, получаем:

$2\cos(\beta/2)\cos\left(\frac{\alpha-\gamma}{2}\right) = 4\sin(\beta/2)\cos(\beta/2)$

Поскольку угол $\beta$ не равен $\pi$, то $\cos(\beta/2) \neq 0$, и мы можем на него сократить:

$\cos\left(\frac{\alpha-\gamma}{2}\right) = 2\sin(\beta/2)$

Вывод

Мы показали, что условие перпендикулярности прямой $OI$ биссектрисе угла $B$ и условие того, что стороны $a,b,c$ образуют арифметическую прогрессию ($a+c=2b$), приводят к одному и тому же тригонометрическому тождеству: $\cos\left(\frac{\alpha-\gamma}{2}\right) = 2\sin(\beta/2)$.

Поскольку все преобразования были эквивалентными, мы доказали, что стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей, перпендикулярна одной из биссектрис треугольника.

Ответ: Утверждение доказано.