Номер 1269, страница 331 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 11 - номер 1269, страница 331.

Условие.

1269 На сторонах квадрата MNPQ взяты точки А и В так, что $NA = \frac{1}{2} MN$, $QB = \frac{1}{3} MN$ (рис. 369). Докажите, что $\angle AMB = 45^\circ$.

Рис. 369

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть сторона квадрата $MNPQ$ равна $s$. Тогда $MN = NP = PQ = QM = s$.

По условию задачи, на сторонах квадрата взяты точки $A$ и $B$ так, что:

$NA = \frac{1}{2}MN = \frac{1}{2}s$

$QB = \frac{1}{3}MN = \frac{1}{3}s$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MNA$ и $\triangle MQB$. Углы $\angle MNA$ и $\angle MQB$ являются прямыми ($\angle N = \angle Q = 90^\circ$), так как $MNPQ$ — квадрат.

Обозначим $\angle NMA = \alpha$ и $\angle QMB = \beta$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle MNA$ тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета $NA$ к прилежащему катету $MN$:

$\tan(\alpha) = \frac{NA}{MN} = \frac{\frac{1}{2}s}{s} = \frac{1}{2}$

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $\triangle MQB$ тангенс угла $\beta$ равен отношению противолежащего катета $QB$ к прилежащему катету $MQ$:

$\tan(\beta) = \frac{QB}{MQ} = \frac{\frac{1}{3}s}{s} = \frac{1}{3}$

Угол квадрата $\angle NMQ$ равен $90^\circ$. Из рисунка видно, что этот угол состоит из трех углов: $\angle NMA$, $\angle AMB$ и $\angle QMB$.

$\angle NMQ = \angle NMA + \angle AMB + \angle QMB = \alpha + \angle AMB + \beta$

Отсюда можно выразить искомый угол $\angle AMB$:

$\angle AMB = 90^\circ - (\alpha + \beta)$

Для нахождения $\angle AMB$ вычислим сумму углов $\alpha + \beta$, используя формулу тангенса суммы:

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 - \tan(\alpha)\tan(\beta)}$

Подставим найденные значения тангенсов в формулу:

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{3+2}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{6-1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1$

Поскольку $\alpha$ и $\beta$ — острые углы в прямоугольных треугольниках, их сумма $\alpha + \beta$ находится в интервале $(0^\circ, 180^\circ)$. Единственное решение уравнения $\tan(x) = 1$ в этом интервале — $x = 45^\circ$. Следовательно, $\alpha + \beta = 45^\circ$.

Теперь найдем угол $\angle AMB$:

$\angle AMB = 90^\circ - (\alpha + \beta) = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $\angle AMB = 45^\circ$.