Номер 1262, страница 330 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 10 - номер 1262, страница 330.

Условие.

1262 В каждом из следующих случаев на оси абсцисс найдите точку $M$, для которой сумма её расстояний от точек $A$ и $B$ имеет наименьшее значение:

a) $A (2; 3)$, $B (4; -5)$;

б) $A (-2; 4)$, $B (3; 1)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для нахождения на оси абсцисс точки $M$, для которой сумма расстояний от точек $A$ и $B$ имеет наименьшее значение, используется геометрический метод, основанный на свойстве кратчайшего пути.

1. Если точки $A$ и $B$ находятся по разные стороны от оси абсцисс (их ординаты имеют разные знаки), то кратчайший путь от $A$ до $B$ — это прямая линия. Искомая точка $M$ будет точкой пересечения отрезка $AB$ с осью абсцисс. Сумма расстояний $AM + BM$ в этом случае равна длине отрезка $AB$.

2. Если точки $A$ и $B$ находятся по одну сторону от оси абсцисс (их ординаты имеют одинаковые знаки), необходимо отразить одну из точек, например $B$, симметрично относительно оси абсцисс. Получим точку $B'$. Для любой точки $M$ на оси абсцисс расстояние $BM$ равно расстоянию $B'M$. Таким образом, задача сводится к минимизации суммы $AM + B'M$. Эта сумма минимальна, когда точки $A$, $M$ и $B'$ лежат на одной прямой. Следовательно, искомая точка $M$ является точкой пересечения отрезка $AB'$ с осью абсцисс.

а) A(2; 3), B(4; -5)

Ординаты точек $A(2; 3)$ и $B(4; -5)$ равны $y_A=3$ и $y_B=-5$. Так как знаки ординат различны, точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от оси абсцисс. Искомая точка $M(x; 0)$ — это точка пересечения прямой $AB$ с осью абсцисс.

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид:
$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$
Подставим координаты точек $A$ и $B$:
$\frac{x - 2}{4 - 2} = \frac{y - 3}{-5 - 3}$
$\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 3}{-8}$

Для нахождения точки пересечения с осью абсцисс, подставим $y=0$:
$\frac{x - 2}{2} = \frac{0 - 3}{-8}$
$\frac{x - 2}{2} = \frac{3}{8}$
$x - 2 = 2 \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{4}$
$x = 2 + \frac{3}{4} = \frac{11}{4}$
Координаты искомой точки $M(\frac{11}{4}; 0)$.

Ответ: $M(\frac{11}{4}; 0)$.

б) A(-2; 4), B(3; 1)

Ординаты точек $A(-2; 4)$ и $B(3; 1)$ равны $y_A=4$ и $y_B=1$. Так как обе ординаты положительны, точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от оси абсцисс.
Отразим точку $B(3; 1)$ симметрично относительно оси абсцисс и получим точку $B'(3; -1)$.
Искомая точка $M(x; 0)$ является точкой пересечения прямой, проходящей через точки $A$ и $B'$, с осью абсцисс.

Составим уравнение прямой $AB'$:
$\frac{x - (-2)}{3 - (-2)} = \frac{y - 4}{-1 - 4}$
$\frac{x + 2}{5} = \frac{y - 4}{-5}$

Для нахождения точки пересечения с осью абсцисс, подставим $y=0$:
$\frac{x + 2}{5} = \frac{0 - 4}{-5}$
$\frac{x + 2}{5} = \frac{4}{5}$
$x + 2 = 4$
$x = 2$
Координаты искомой точки $M(2; 0)$.

Ответ: $M(2; 0)$.