Номер 1257, страница 330 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 10 - номер 1257, страница 330.

Условие.

1257 Даны две точки $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$. Докажите, что координаты $(x; y)$ точки $C$, делящей отрезок $AB$ в отношении $\lambda$ (т. е. $\frac{AC}{CB} = \lambda$), выражаются формулами $x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}$, $y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть даны точки $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$, а также точка $C(x; y)$, которая делит отрезок $AB$ в отношении $\lambda$. Это означает, что точка $C$ лежит на отрезке $AB$ и выполняется условие $\frac{AC}{CB} = \lambda$.

Данное условие можно представить в векторной форме. Поскольку точки $A$, $C$, $B$ лежат на одной прямой и $C$ находится между $A$ и $B$, векторы $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$ сонаправлены. Отношение их длин равно $\lambda$, поэтому мы можем записать следующее векторное равенство:

$\vec{AC} = \lambda \cdot \vec{CB}$

Выразим координаты векторов через координаты их начальных и конечных точек. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала.

Координаты вектора $\vec{AC}$ равны $(x - x_1; y - y_1)$.

Координаты вектора $\vec{CB}$ равны $(x_2 - x; y_2 - y)$.

Подставим эти выражения в векторное равенство:

$(x - x_1; y - y_1) = \lambda \cdot (x_2 - x; y_2 - y)$

Это равенство двух векторов эквивалентно системе двух уравнений для их соответствующих координат:

$\begin{cases} x - x_1 = \lambda(x_2 - x) \\ y - y_1 = \lambda(y_2 - y) \end{cases}$

Решим первое уравнение относительно переменной $x$:

$x - x_1 = \lambda x_2 - \lambda x$

Соберем все слагаемые, содержащие $x$, в левой части уравнения, а остальные — в правой:

$x + \lambda x = x_1 + \lambda x_2$

Вынесем $x$ за скобки в левой части:

$x(1 + \lambda) = x_1 + \lambda x_2$

Разделив обе части на $(1 + \lambda)$, получим формулу для координаты $x$:

$x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}$

Аналогично решим второе уравнение системы относительно переменной $y$:

$y - y_1 = \lambda y_2 - \lambda y$

$y + \lambda y = y_1 + \lambda y_2$

$y(1 + \lambda) = y_1 + \lambda y_2$

$y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}$

Таким образом, мы доказали, что координаты точки $C$, делящей отрезок $AB$ в отношении $\lambda$, действительно выражаются данными формулами. Что и требовалось доказать.

Ответ: Координаты точки $C(x; y)$, делящей отрезок, соединяющий точки $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$, в отношении $\lambda = \frac{AC}{CB}$, находятся по формулам: $x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}$, $y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}$.