Номер 1253, страница 329 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1253, страница 329.

Условие.

1253 В цилиндрическую мензурку диаметром 2,5 см, наполненную водой до некоторого уровня, опускают 4 равных металлических шарика диаметром 1 см. На сколько изменится уровень воды в мензурке?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Когда в мензурку с водой опускают металлические шарики, они вытесняют объем воды, равный их собственному объему. Этот вытесненный объем воды, в свою очередь, приводит к подъему уровня воды в цилиндрической мензурке. Наша задача — найти высоту этого подъема ($\Delta h$).

1. Найдем объем одного металлического шарика.

Формула для вычисления объема шара: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, где $r$ — это радиус шара.

Диаметр одного шарика по условию равен $d_{ш} = 1$ см. Его радиус будет вдвое меньше:

$r_{ш} = \frac{d_{ш}}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$ см.

Теперь рассчитаем объем одного шарика ($V_{ш}$):

$V_{ш} = \frac{4}{3}\pi (0,5)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 0,125 = \frac{0,5}{3}\pi = \frac{1}{6}\pi$ см$^3$.

2. Найдем суммарный объем четырех шариков.

Поскольку все 4 шарика равны, их общий объем ($V_{общ}$) равен объему одного шарика, умноженному на четыре:

$V_{общ} = 4 \cdot V_{ш} = 4 \cdot \frac{1}{6}\pi = \frac{4}{6}\pi = \frac{2}{3}\pi$ см$^3$.

3. Найдем изменение уровня воды в мензурке.

Объем вытесненной воды ($V_{воды}$) равен общему объему шариков: $V_{воды} = V_{общ} = \frac{2}{3}\pi$ см$^3$.

Этот объем в цилиндрической мензурке можно рассчитать по формуле объема цилиндра: $V_{воды} = S_{осн} \cdot \Delta h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания мензурки, а $\Delta h$ — искомое изменение уровня воды.

Площадь основания мензурки (круга) вычисляется по формуле $S = \pi R^2$, где $R$ — радиус основания.

Диаметр мензурки равен $D_{м} = 2,5$ см, значит, ее радиус $R_{м} = \frac{D_{м}}{2} = \frac{2,5}{2} = 1,25$ см.

Найдем площадь основания:

$S_{осн} = \pi \cdot (1,25)^2 = \pi \cdot 1,5625$ см$^2$.

Теперь приравняем объем вытесненной воды к общему объему шариков и выразим $\Delta h$:

$S_{осн} \cdot \Delta h = V_{общ}$

$\pi \cdot 1,5625 \cdot \Delta h = \frac{2}{3}\pi$

Сократим $\pi$ в обеих частях уравнения:

$1,5625 \cdot \Delta h = \frac{2}{3}$

$\Delta h = \frac{2}{3 \cdot 1,5625} = \frac{2}{4,6875}$

Для более точного расчета представим $1,25$ в виде дроби: $1,25 = \frac{5}{4}$. Тогда $(1,25)^2 = (\frac{5}{4})^2 = \frac{25}{16}$.

Подставим это значение в уравнение:

$\frac{25}{16} \cdot \Delta h = \frac{2}{3}$

$\Delta h = \frac{2}{3} \div \frac{25}{16} = \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{25} = \frac{32}{75}$ см.

Переведем полученную дробь в десятичный вид:

$\Delta h = \frac{32}{75} \approx 0,4267$ см.

Ответ: уровень воды в мензурке изменится на $\frac{32}{75}$ см, что приблизительно равно 0,43 см.