Номер 1255, страница 329 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1255, страница 329.

Условие.

1255 В каком отношении находятся объёмы двух шаров, если площади их поверхностей относятся как $m^2 : n^2$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть $R_1$ и $R_2$ — радиусы двух шаров, $S_1$ и $S_2$ — площади их поверхностей, а $V_1$ и $V_2$ — их объёмы.

Площадь поверхности шара с радиусом $R$ вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$. Объём шара с радиусом $R$ вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Согласно условию, отношение площадей поверхностей двух шаров равно $m^2 : n^2$. Запишем это в виде дроби:
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{m^2}{n^2}$

Выразим отношение площадей поверхностей через радиусы шаров:
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi R_1^2}{4\pi R_2^2} = \frac{R_1^2}{R_2^2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2$

Приравняв два полученных выражения для отношения площадей, найдем отношение их радиусов:
$\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = \frac{m^2}{n^2}$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{m}{n}$

Теперь найдем искомое отношение объёмов двух шаров, выразив его через их радиусы:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_1^3}{\frac{4}{3}\pi R_2^3} = \frac{R_1^3}{R_2^3} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$

Подставим в это выражение найденное ранее отношение радиусов:
$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{m}{n}\right)^3 = \frac{m^3}{n^3}$

Таким образом, объёмы двух шаров находятся в отношении $m^3 : n^3$.

Ответ: $m^3 : n^3$.