Номер 1251, страница 329 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1251, страница 329.

Условие.

1251 Равнобедренный треугольник, боковая сторона которого рав-

на $m$, а угол при основании равен $\varphi$, вращается вокруг осно-

вания. Найдите площадь поверхности тела, полученного при

этом вращении.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

При вращении равнобедренного треугольника вокруг его основания образуется тело вращения, которое состоит из двух одинаковых конусов, соединенных своими основаниями. Площадь поверхности этого тела равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов.

Обозначим боковую сторону треугольника как $m$, а угол при основании как $\phi$.

Для конуса, образованного вращением одной из боковых сторон, эта сторона является образующей. Таким образом, длина образующей конуса $l$ равна длине боковой стороны треугольника:
$l = m$.

Радиус основания конуса $r$ равен высоте треугольника, опущенной из вершины на основание. Чтобы найти эту высоту, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза), высотой (катет, противолежащий углу $\phi$) и половиной основания треугольника (второй катет).

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике:
$\sin(\phi) = \frac{r}{m}$
Отсюда выражаем радиус $r$:
$r = m \sin(\phi)$.

Площадь боковой поверхности одного конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \pi r l$.

Подставив найденные значения $l$ и $r$, получим:
$S_{бок} = \pi (m \sin(\phi)) m = \pi m^2 \sin(\phi)$.

Поскольку тело вращения состоит из двух таких конусов, общая площадь его поверхности $S$ будет вдвое больше:
$S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \pi m^2 \sin(\phi)$.

Ответ: $2 \pi m^2 \sin(\phi)$