Номер 1247, страница 329 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1247, страница 329.

Условие.

1247 Из квадрата, диагональ которого равна $d$, свёрнута боковая поверхность цилиндра. Найдите площадь основания цилиндра.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть сторона квадрата равна $a$. Диагональ квадрата $d$ связана со стороной по теореме Пифагора: $a^2 + a^2 = d^2$.

Отсюда получаем $2a^2 = d^2$, что означает, что площадь квадрата равна $a^2 = \frac{d^2}{2}$.

Когда из квадрата сворачивают боковую поверхность цилиндра, одна из сторон квадрата становится высотой цилиндра $h$, а другая – длиной окружности его основания $C$.

Таким образом, длина окружности основания цилиндра $C = a$.

Длина окружности связана с ее радиусом $r$ формулой $C = 2\pi r$. Следовательно, мы можем приравнять эти два выражения:

$a = 2\pi r$

Отсюда выразим радиус основания цилиндра:

$r = \frac{a}{2\pi}$

Площадь основания цилиндра $S_{осн}$ – это площадь круга с радиусом $r$, и она вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$.

Подставим в эту формулу найденное выражение для радиуса $r$:

$S_{осн} = \pi \left(\frac{a}{2\pi}\right)^2 = \pi \cdot \frac{a^2}{4\pi^2} = \frac{a^2}{4\pi}$

Теперь подставим значение $a^2 = \frac{d^2}{2}$ в полученную формулу для площади основания:

$S_{осн} = \frac{\frac{d^2}{2}}{4\pi} = \frac{d^2}{2 \cdot 4\pi} = \frac{d^2}{8\pi}$

Ответ: $\frac{d^2}{8\pi}$.