Номер 1243, страница 329 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1243, страница 329.

Условие.

1243. В правильной $n$-угольной пирамиде плоский угол при вершине равен $\alpha$, а сторона основания равна $a$. Найдите объём пирамиды.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. Для нахождения объёма необходимо последовательно найти площадь основания и высоту, используя заданные параметры.

1. Найдём площадь основания $S_{осн}$.

Основанием пирамиды является правильный n-угольник со стороной $a$. Площадь правильного n-угольника можно вычислить, зная его сторону. Формула для площади правильного n-угольника со стороной $a$ имеет вид:

$S_{осн} = \frac{na^2}{4 \tan(\frac{\pi}{n})} = \frac{na^2}{4} \cot(\frac{\pi}{n})$

2. Найдём высоту пирамиды $H$.

Высоту пирамиды $H$ можно найти из прямоугольного треугольника, образованного самой высотой $H$, апофемой основания $r$ (радиусом вписанной в основание окружности) и апофемой боковой грани $h_б$ (высотой боковой грани, проведенной из вершины пирамиды). По теореме Пифагора, $H^2 + r^2 = h_б^2$.

Сначала найдём апофему основания $r$. В правильном n-угольнике со стороной $a$ апофема равна:

$r = \frac{a}{2\tan(\frac{\pi}{n})} = \frac{a}{2}\cot(\frac{\pi}{n})$

Теперь найдём апофему боковой грани $h_б$. Боковая грань представляет собой равнобедренный треугольник с основанием $a$ и углом при вершине $\alpha$. Апофема $h_б$ является высотой этого треугольника. Если рассмотреть половину этого треугольника, мы получим прямоугольный треугольник с углом $\frac{\alpha}{2}$ при вершине и противолежащим катетом $\frac{a}{2}$. Тогда:

$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{a/2}{h_б}$, откуда $h_б = \frac{a}{2\tan(\frac{\alpha}{2})} = \frac{a}{2}\cot(\frac{\alpha}{2})$

Теперь мы можем найти высоту пирамиды $H$:

$H^2 = h_б^2 - r^2 = \left(\frac{a}{2}\cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\cot\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)^2 = \frac{a^2}{4} \left(\cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - \cot^2\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)$

$H = \frac{a}{2} \sqrt{\cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - \cot^2\left(\frac{\pi}{n}\right)}$

3. Вычислим объём пирамиды $V$.

Подставим найденные выражения для $S_{осн}$ и $H$ в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{na^2}{4} \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)\right) \cdot \left(\frac{a}{2} \sqrt{\cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - \cot^2\left(\frac{\pi}{n}\right)}\right)$

Упрощая выражение, получаем:

$V = \frac{na^3}{24} \cot\left(\frac{\pi}{n}\right) \sqrt{\cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - \cot^2\left(\frac{\pi}{n}\right)}$

Ответ: $V = \frac{na^3}{24} \cot\left(\frac{\pi}{n}\right) \sqrt{\cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - \cot^2\left(\frac{\pi}{n}\right)}$.