Номер 1238, страница 328 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1238, страница 328.

Условие.

1238 Найдите объём прямой призмы $ABC A_1 B_1 C_1$, если $AB = BC = m$, $\angle ABC = \varphi$ и $BB_1 = BD$, где $BD$ — высота треугольника $ABC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы. Решим задачу в три этапа: найдем площадь основания, затем высоту призмы и, наконец, ее объем.

1. Нахождение площади основания
Основанием призмы является треугольник $ABC$. Согласно условию, этот треугольник равнобедренный, так как $AB = BC = m$, а угол между этими сторонами равен $\angle ABC = \varphi$.
Площадь треугольника можно вычислить по формуле: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны, а $\gamma$ — угол между ними.
Применительно к нашему случаю:$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot m \cdot m \cdot \sin(\varphi) = \frac{1}{2}m^2\sin(\varphi)$.

2. Нахождение высоты призмы
Призма $ABCA_1B_1C_1$ является прямой, следовательно, ее высота $H$ равна длине бокового ребра, например, $H = BB_1$.
По условию задачи дано, что $BB_1 = BD$, где $BD$ — высота треугольника $ABC$, проведенная к стороне $AC$.
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, его высота $BD$ является также биссектрисой угла $\angle ABC$. Поэтому она делит этот угол пополам:$\angle ABD = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{\varphi}{2}$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$ ($\angle D = 90^\circ$). В нем $AB$ является гипотенузой, а $BD$ — катетом, прилежащим к углу $\angle ABD$. Связь между ними выражается через косинус:$BD = AB \cdot \cos(\angle ABD) = m \cdot \cos\left(\frac{\varphi}{2}\right)$.
Следовательно, высота призмы $H = BB_1 = BD = m \cos\left(\frac{\varphi}{2}\right)$.

3. Вычисление объема призмы
Теперь мы можем вычислить объем призмы, подставив найденные значения площади основания $S_{\triangle ABC}$ и высоты $H$ в основную формулу:$V = S_{\triangle ABC} \cdot H = \left(\frac{1}{2}m^2\sin(\varphi)\right) \cdot \left(m \cos\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right) = \frac{1}{2}m^3\sin(\varphi)\cos\left(\frac{\varphi}{2}\right)$.
Для упрощения полученного выражения воспользуемся тригонометрической формулой синуса двойного угла: $\sin(\varphi) = 2\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)\cos\left(\frac{\varphi}{2}\right)$.
Подставим это в формулу объема:$V = \frac{1}{2}m^3 \left(2\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)\cos\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right) \cos\left(\frac{\varphi}{2}\right) = m^3\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)\cos^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)$.

Ответ: $V = m^3\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)\cos^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)$.