Номер 1235, страница 328 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1235, страница 328.

Условие.

1235 Изобразите параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и постройте его сечение плоскостью $BKL$, где $K$ — середина ребра $AA_1$, а $L$ — середина ребра $CC_1$. Докажите, что построенное сечение — параллелограмм.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Построение сечения

1. Изобразим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Отметим на нем заданные точки: $K$ — середина ребра $AA_1$, и $L$ — середина ребра $CC_1$.

2. Соединим точки, лежащие в одной грани. Точки $B$ и $K$ лежат в плоскости боковой грани $ABB_1A_1$. Проведем отрезок $BK$ — это одна из сторон сечения.

3. Точки $B$ и $L$ лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Проведем отрезок $BL$ — это вторая сторона сечения.

4. Для нахождения остальных сторон сечения воспользуемся свойством параллельности. Если секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны.

5. Грань $ADD_1A_1$ параллельна грани $BCC_1B_1$. Секущая плоскость $(BKL)$ пересекает грань $BCC_1B_1$ по отрезку $BL$. Следовательно, плоскость $(BKL)$ должна пересечь грань $ADD_1A_1$ по прямой, параллельной $BL$. Проведем через точку $K$ прямую, параллельную $BL$. В ходе дальнейшего доказательства будет показано, что эта прямая проходит через вершину $D_1$. Таким образом, отрезок $KD_1$ — третья сторона сечения.

6. Грань $ABB_1A_1$ параллельна грани $CDD_1C_1$. Секущая плоскость пересекает грань $ABB_1A_1$ по отрезку $BK$. Значит, она пересекает грань $CDD_1C_1$ по отрезку, проходящему через точку $L$ и параллельному $BK$. Этот отрезок — $LD_1$.

7. В результате построений получаем четырехугольник $BKD_1L$, который и является искомым сечением.

Доказательство, что построенное сечение — параллелограмм

Для доказательства того, что четырехугольник $BKD_1L$ является параллелограммом, воспользуемся векторным методом. Введем базис с началом в точке $A$: $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{AD}$ и $\vec{c} = \vec{AA_1}$.

Выразим радиус-векторы вершин построенного сечения $B, K, D_1, L$ в этом базисе:

• $\vec{r}_B = \vec{AB} = \vec{a}$
• $K$ — середина $AA_1$, следовательно, $\vec{r}_K = \frac{1}{2}\vec{AA_1} = \frac{1}{2}\vec{c}$
• $L$ — середина $CC_1$. Вектор $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$, а $\vec{CC_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$. Тогда $\vec{r}_L = \vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{CC_1} = (\vec{a} + \vec{b}) + \frac{1}{2}\vec{c}$
• $\vec{r}_{D_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1} = \vec{b} + \vec{c}$

Чтобы доказать, что $BKD_1L$ — параллелограмм, достаточно показать равенство векторов его противоположных сторон, например, $\vec{BK}$ и $\vec{LD_1}$.

Найдем вектор $\vec{BK}$:

$\vec{BK} = \vec{r}_K - \vec{r}_B = \frac{1}{2}\vec{c} - \vec{a}$

Найдем вектор $\vec{LD_1}$:

$\vec{LD_1} = \vec{r}_{D_1} - \vec{r}_L = (\vec{b} + \vec{c}) - ((\vec{a} + \vec{b}) + \frac{1}{2}\vec{c}) = \vec{b} + \vec{c} - \vec{a} - \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c} = \frac{1}{2}\vec{c} - \vec{a}$

Так как векторы $\vec{BK}$ и $\vec{LD_1}$ равны ($\vec{BK} = \vec{LD_1}$), то соответствующие им отрезки $BK$ и $LD_1$ параллельны и равны по длине.

Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, является параллелограммом. Следовательно, сечение $BKD_1L$ — параллелограмм.

Ответ: Построенное сечение является четырехугольником $BKD_1L$, вершины которого — точки $B$, $K$, $D_1$ и $L$. Данный четырехугольник является параллелограммом, так как его противоположные стороны $BK$ и $LD_1$ (а также $BL$ и $KD_1$) параллельны и равны.