Номер 1237, страница 328 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1237, страница 328.

Условие.

1237 Найдите объём куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если:

а) $AC = 12$ см;

б) $AC_1 = 3\sqrt{2}$;

в) $DE = 1$ см, где $E$ — середина ребра $AB$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Объём куба $V$ вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ — длина ребра куба. $AC$ — это диагональ квадрата $ABCD$, лежащего в основании куба. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$.

По условию дано, что $AC = 12$ см. Составим уравнение:

$a\sqrt{2} = 12$

Выразим из этого уравнения длину ребра $a$:

$a = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Теперь можем вычислить объём куба:

$V = a^3 = (6\sqrt{2})^3 = 6^3 \cdot (\sqrt{2})^3 = 216 \cdot 2\sqrt{2} = 432\sqrt{2}$ см$^3$.

Ответ: $432\sqrt{2}$ см$^3$.

б)

$AC_1$ — это пространственная диагональ куба. Длина диагонали куба с ребром $a$ вычисляется по формуле $D = a\sqrt{3}$.

По условию дано, что $AC_1 = 3\sqrt{2}$. Составим уравнение:

$a\sqrt{3} = 3\sqrt{2}$

Найдём длину ребра $a$:

$a = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} = \sqrt{6}$.

Теперь вычислим объём куба:

$V = a^3 = (\sqrt{6})^3 = (\sqrt{6})^2 \cdot \sqrt{6} = 6\sqrt{6}$.

Ответ: $6\sqrt{6}$.

в)

Рассмотрим основание куба $ABCD$. Это квадрат со стороной $a$. Точка $E$ — середина ребра $AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADE$ с прямым углом при вершине $A$, который лежит в плоскости основания.

Длина катета $AD$ равна ребру куба, то есть $AD = a$.

Длина катета $AE$ равна половине ребра $AB$, так как $E$ — середина $AB$. Таким образом, $AE = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}$.

Гипотенуза $DE$ по условию равна $1$ см.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $ADE$: $AD^2 + AE^2 = DE^2$.

Подставим известные значения и выражения в формулу:

$a^2 + (\frac{a}{2})^2 = 1^2$

$a^2 + \frac{a^2}{4} = 1$

Приведём к общему знаменателю:

$\frac{4a^2 + a^2}{4} = 1 \implies \frac{5a^2}{4} = 1$

Отсюда найдём $a^2$:

$a^2 = \frac{4}{5}$

Тогда длина ребра $a$ равна:

$a = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ см.

Теперь вычислим объём куба:

$V = a^3 = (\frac{2}{\sqrt{5}})^3 = \frac{2^3}{(\sqrt{5})^3} = \frac{8}{5\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{5}}{5 \cdot 5} = \frac{8\sqrt{5}}{25}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{8\sqrt{5}}{25}$ см$^3$.