Номер 1236, страница 328 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1236, страница 328.

Условие.

1236 Сумма площадей трёх граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, равна $404 \text{ дм}^2$, а его рёбра пропорциональны числам 3, 7 и 8. Найдите диагональ параллелепипеда.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть измерения (длины рёбер) прямоугольного параллелепипеда равны $a$, $b$ и $c$.

Согласно условию, рёбра параллелепипеда пропорциональны числам 3, 7 и 8. Это означает, что мы можем выразить их через некоторый коэффициент пропорциональности $k$:

$a = 3k$

$b = 7k$

$c = 8k$

Три грани, имеющие общую вершину, представляют собой прямоугольники с площадями $S_1 = ab$, $S_2 = bc$ и $S_3 = ac$. Сумма этих площадей по условию равна 404 дм².

$ab + bc + ac = 404$

Подставим выражения для $a$, $b$ и $c$ через $k$ в это уравнение:

$(3k)(7k) + (7k)(8k) + (3k)(8k) = 404$

$21k^2 + 56k^2 + 24k^2 = 404$

Сложим слагаемые в левой части уравнения:

$(21 + 56 + 24)k^2 = 404$

$101k^2 = 404$

Отсюда найдём $k^2$:

$k^2 = \frac{404}{101} = 4$

Так как $k$ является коэффициентом пропорциональности для длин рёбер, он должен быть положительным числом. Следовательно:

$k = \sqrt{4} = 2$

Теперь мы можем найти фактические длины рёбер параллелепипеда:

$a = 3k = 3 \cdot 2 = 6$ дм

$b = 7k = 7 \cdot 2 = 14$ дм

$c = 8k = 8 \cdot 2 = 16$ дм

Квадрат диагонали $d$ прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его трёх измерений. Формула для нахождения диагонали:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Подставим найденные значения $a$, $b$ и $c$ в формулу:

$d^2 = 6^2 + 14^2 + 16^2$

$d^2 = 36 + 196 + 256$

$d^2 = 488$

Чтобы найти длину диагонали $d$, извлечём квадратный корень из 488. Для упрощения выражения разложим подкоренное число на множители: $488 = 4 \cdot 122$.

$d = \sqrt{488} = \sqrt{4 \cdot 122} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{122} = 2\sqrt{122}$ дм.

Ответ: $2\sqrt{122}$ дм.