Номер 1233, страница 328 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1233, страница 328.

Условие.

1233 Докажите, что сумма квадратов четырёх диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его рёбер.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства воспользуемся векторным методом.

Пусть параллелепипед задан тремя некомпланарными векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, выходящими из одной вершины. Эти векторы соответствуют трём рёбрам параллелепипеда, сходящимся в одной точке. Длины этих рёбер равны $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$ и $|\vec{c}|$.

У параллелепипеда 12 рёбер: 4 ребра, длина каждого из которых равна $|\vec{a}|$, 4 ребра длиной $|\vec{b}|$, и 4 ребра длиной $|\vec{c}|$.

Сумма квадратов длин всех двенадцати рёбер ($S_{рёбер}$) равна:

$S_{рёбер} = 4|\vec{a}|^2 + 4|\vec{b}|^2 + 4|\vec{c}|^2 = 4(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2)$

Теперь найдём четыре диагонали параллелепипеда. Диагонали соединяют противоположные вершины. Векторы, соответствующие четырём диагоналям, можно выразить через векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ следующим образом:

$\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

$\vec{d_2} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

$\vec{d_3} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

$\vec{d_4} = -\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

Найдём сумму квадратов длин этих диагоналей ($S_{диагоналей}$). Квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату: $|\vec{d}|^2 = \vec{d} \cdot \vec{d} = (\vec{d})^2$.

$|\vec{d_1}|^2 = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 2\vec{a}\cdot\vec{c} + 2\vec{b}\cdot\vec{c}$

$|\vec{d_2}|^2 = (\vec{a} + \vec{b} - \vec{c})^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} - 2\vec{a}\cdot\vec{c} - 2\vec{b}\cdot\vec{c}$

$|\vec{d_3}|^2 = (\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 2\vec{a}\cdot\vec{c} - 2\vec{b}\cdot\vec{c}$

$|\vec{d_4}|^2 = (-\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} - 2\vec{a}\cdot\vec{c} + 2\vec{b}\cdot\vec{c}$

Теперь сложим квадраты длин всех четырёх диагоналей: $S_{диагоналей} = |\vec{d_1}|^2 + |\vec{d_2}|^2 + |\vec{d_3}|^2 + |\vec{d_4}|^2$.

Сложив правые части этих четырёх равенств, мы увидим, что все члены, содержащие скалярные произведения векторов ($\vec{a}\cdot\vec{b}$, $\vec{a}\cdot\vec{c}$, $\vec{b}\cdot\vec{c}$), взаимно уничтожаются. Например, для $\vec{a}\cdot\vec{b}$ сумма коэффициентов равна $2+2-2-2=0$. Аналогично для других пар. Остаются только члены с квадратами длин:

$S_{диагоналей} = 4(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2)$

Сравнивая полученное выражение для суммы квадратов диагоналей с суммой квадратов рёбер, видим, что они равны:

$S_{диагоналей} = S_{рёбер}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма квадратов четырёх диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его рёбер.