Номер 1232, страница 328 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1232, страница 328.

Условие.

1232 Докажите, что диагональ параллелепипеда меньше суммы трёх рёбер, имеющих общую вершину.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Рассмотрим три ребра, выходящие из общей вершины $A$: $AB$, $AD$ и $AA_1$. Обозначим их длины соответственно $a$, $b$ и $c$. Таким образом, $|AB| = a$, $|AD| = b$, $|AA_1| = c$.

Диагональю параллелепипеда, выходящей из той же вершины $A$, является отрезок $AC_1$. Обозначим его длину как $d$.

Требуется доказать, что $d < a + b + c$.

Для доказательства воспользуемся неравенством треугольника, которое гласит, что любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Мы применим это неравенство дважды.

1. Рассмотрим треугольник $ACC_1$. Он образован диагональю основания $AC$, боковым ребром $CC_1$ и диагональю параллелепипеда $AC_1$. По неравенству треугольника:

$|AC_1| < |AC| + |CC_1|$

По определению параллелепипеда, его противоположные ребра равны, поэтому $|CC_1| = |AA_1| = c$. Подставив это значение, получаем:

$d < |AC| + c$ (1)

2. Теперь рассмотрим треугольник $ABC$, который лежит в основании параллелепипеда. Он образован ребрами $AB$, $BC$ и диагональю основания $AC$. По неравенству треугольника:

$|AC| < |AB| + |BC|$

Грань $ABCD$ является параллелограммом, поэтому $|BC| = |AD| = b$. Подставив значения длин сторон, получаем:

$|AC| < a + b$ (2)

3. Наконец, подставим неравенство (2) в неравенство (1). Мы заменяем величину $|AC|$ в первом неравенстве на большее значение $a+b$:

$d < |AC| + c < (a + b) + c$

Отсюда следует, что:

$d < a + b + c$

Таким образом, мы доказали, что длина диагонали параллелепипеда ($d$) меньше суммы длин трёх рёбер ($a+b+c$), выходящих из одной вершины. Это неравенство является строгим, так как вершины $A, C, C_1$ (а также $A, B, C$) не лежат на одной прямой для любого невырожденного параллелепипеда.

Ответ: Что и требовалось доказать.