Номер 1234, страница 328 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1234, страница 328.

Условие.

1234 Изобразите параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и постройте:

а) его сечения плоскостями $ABC_1$ и $DCB_1$, а также отрезок, по которому эти сечения пересекаются;

б) его сечение плоскостью, проходящей через ребро $CC_1$ и точку пересечения диагоналей грани $AA_1D_1D$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а) Изобразим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сначала построим сечение плоскостью $ABC_1$. Точки $A$ и $B$ уже соединены ребром $AB$, которое является стороной сечения. Соединим точки $B$ и $C_1$, лежащие в одной грани $BCC_1B_1$. Отрезок $BC_1$ — вторая сторона сечения. Так как секущая плоскость пересекает параллельные плоскости оснований $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ по параллельным прямым, то в плоскости верхнего основания через точку $C_1$ проведем прямую, параллельную $AB$. Эта прямая совпадет с ребром $C_1D_1$, так как в параллелепипеде $C_1D_1 \parallel AB$. Таким образом, $C_1D_1$ — третья сторона сечения. Наконец, соединим точки $A$ и $D_1$, лежащие в грани $AA_1D_1D$. Полученное сечение – четырехугольник $ABC_1D_1$. Так как $AB$ и $D_1C_1$ параллельны и равны, сечение $ABC_1D_1$ является параллелограммом.

Далее построим сечение плоскостью $DCB_1$. Соединим точки $D$ и $C$ (ребро $DC$) и точки $C$ и $B_1$. В плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$ через точку $B_1$ проведем прямую, параллельную $DC$. Эта прямая совпадет с ребром $B_1A_1$. Соединим точки $D$ и $A_1$. Полученное сечение – четырехугольник $DCB_1A_1$. Так как $DC$ и $A_1B_1$ параллельны и равны, сечение $DCB_1A_1$ является параллелограммом.

Теперь найдем отрезок, по которому эти два сечения пересекаются. Для этого найдем две общие точки секущих плоскостей. Первая точка — это точка $M$, в которой пересекаются отрезки $AD_1$ (диагональ грани $AA_1D_1D$, принадлежащая сечению $ABC_1D_1$) и $A_1D$ (вторая диагональ грани $AA_1D_1D$, принадлежащая сечению $DCB_1A_1$). Вторая точка — это точка $N$, в которой пересекаются отрезки $BC_1$ (диагональ грани $BCC_1B_1$, принадлежащая сечению $ABC_1D_1$) и $B_1C$ (вторая диагональ грани $BCC_1B_1$, принадлежащая сечению $DCB_1A_1$). Точки $M$ и $N$ принадлежат обеим секущим плоскостям. Следовательно, сечения пересекаются по отрезку $MN$, который соединяет центры противоположных боковых граней $AA_1D_1D$ и $BCC_1B_1$.

Ответ: Сечениями являются параллелограммы $ABC_1D_1$ и $DCB_1A_1$. Они пересекаются по отрезку $MN$, где $M$ – точка пересечения диагоналей грани $AA_1D_1D$, а $N$ – точка пересечения диагоналей грани $BCC_1B_1$.

б) Пусть $O$ – точка пересечения диагоналей грани $AA_1D_1D$ ($O = AD_1 \cap A_1D$). Требуется построить сечение плоскостью, проходящей через ребро $CC_1$ и точку $O$.

Ребро $CC_1$ параллельно ребру $DD_1$, которое лежит в плоскости грани $AA_1D_1D$. Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $CC_1$ параллельна плоскости $(AA_1D_1D)$.

Секущая плоскость проходит через прямую $CC_1$ и пересекает параллельную ей плоскость $(AA_1D_1D)$. По свойству, линия пересечения этих плоскостей должна быть параллельна прямой $CC_1$. Так как точка $O$ принадлежит и секущей плоскости, и плоскости грани $(AA_1D_1D)$, эта линия пересечения проходит через точку $O$.

Проведем в плоскости $(AA_1D_1D)$ через точку $O$ прямую, параллельную $CC_1$ (а значит, и $AA_1$, и $DD_1$). Эта прямая пересечет ребра $AD$ и $A_1D_1$ в их серединах, так как $O$ является центром параллелограмма $AA_1D_1D$. Обозначим эти точки $K$ и $L$ соответственно. Отрезок $KL$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $AA_1D_1D$.

Таким образом, вершинами искомого сечения являются точки $C$, $C_1$, $L$ и $K$. Соединяя их последовательно, получаем четырехугольник $CC_1LK$. Так как $CC_1 \parallel KL$ по построению, $CC_1LK$ является трапецией. Более того, можно показать, что векторы $\vec{CK}$ и $\vec{C_1L}$ равны, из чего следует, что $CK \parallel C_1L$. Следовательно, сечение является параллелограммом.

Ответ: Искомое сечение – это параллелограмм $CC_1LK$, где $K$ – середина ребра $AD$, а $L$ – середина ребра $A_1D_1$.