Номер 1241, страница 328 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1241, страница 328.

Условие.

1241 Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь поверхности пирамиды, т. е. сумму площадей всех её граней.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для нахождения площади полной поверхности пирамиды необходимо сложить площадь ее основания и площадь боковой поверхности. $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

1. Найдем площадь основания пирамиды ($S_{осн}$).

Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами $a = 5$ м, $b = 4$ м и меньшей диагональю $d_1 = 3$ м. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Найдем площадь одного такого треугольника по формуле Герона. Стороны этого треугольника равны 4 м, 5 м и 3 м.

Полупериметр треугольника $p$ равен:

$p = \frac{4 + 5 + 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$ м.

Площадь треугольника ($S_{\triangle}$) равна:

$S_{\triangle} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{6(6-5)(6-4)(6-3)} = \sqrt{6 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{36} = 6 \text{ м}^2$.

Площадь основания (параллелограмма) равна удвоенной площади этого треугольника:

$S_{осн} = 2 \cdot S_{\triangle} = 2 \cdot 6 = 12 \text{ м}^2$.

Ответ: $S_{осн} = 12 \text{ м}^2$.

2. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды ($S_{бок}$).

Высота пирамиды $H = 2$ м и проходит через точку пересечения диагоналей основания O. Боковая поверхность состоит из четырех треугольников. Противоположные боковые грани равны, так как они являются равнобедренными треугольниками с равными основаниями и равными боковыми ребрами. Таким образом, нам нужно найти площади двух разных боковых граней.

Площадь боковой грани вычисляется по формуле $S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot h_{апофема}$. Апофема (высота боковой грани) находится по теореме Пифагора. Для этого нам нужны расстояния от центра основания (точки О) до сторон параллелограмма.

Найдем высоты параллелограмма:

Высота к стороне $a = 5$ м: $h_a = \frac{S_{осн}}{a} = \frac{12}{5} = 2.4$ м.

Высота к стороне $b = 4$ м: $h_b = \frac{S_{осн}}{b} = \frac{12}{4} = 3$ м.

Расстояние от точки O до стороны $a$ равно половине высоты $h_a$: $r_a = \frac{h_a}{2} = \frac{2.4}{2} = 1.2$ м.

Расстояние от точки O до стороны $b$ равно половине высоты $h_b$: $r_b = \frac{h_b}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$ м.

Теперь найдем апофемы (высоты боковых граней), используя теорему Пифагора:

Апофема к стороне $a = 5$ м: $l_a = \sqrt{H^2 + r_a^2} = \sqrt{2^2 + 1.2^2} = \sqrt{4 + 1.44} = \sqrt{5.44} = \sqrt{\frac{544}{100}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 34}}{10} = \frac{4\sqrt{34}}{10} = \frac{2\sqrt{34}}{5}$ м.

Апофема к стороне $b = 4$ м: $l_b = \sqrt{H^2 + r_b^2} = \sqrt{2^2 + 1.5^2} = \sqrt{4 + 2.25} = \sqrt{6.25} = 2.5$ м.

Вычислим площади боковых граней:

Площадь двух граней с основанием 5 м: $S_1 = 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot l_a) = 5 \cdot \frac{2\sqrt{34}}{5} = 2\sqrt{34} \text{ м}^2$.

Площадь двух граней с основанием 4 м: $S_2 = 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot b \cdot l_b) = 4 \cdot 2.5 = 10 \text{ м}^2$.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = S_1 + S_2 = 10 + 2\sqrt{34} \text{ м}^2$.

Ответ: $S_{бок} = 10 + 2\sqrt{34} \text{ м}^2$.

3. Найдем площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$).

Сложим площадь основания и площадь боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 12 + (10 + 2\sqrt{34}) = 22 + 2\sqrt{34} \text{ м}^2$.

Ответ: $S_{полн} = 22 + 2\sqrt{34} \text{ м}^2$.