Номер 1246, страница 329 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1246, страница 329.

Условие.

1246 Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна $288\pi \text{ см}^2$. Найдите радиус основания и высоту цилиндра.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Обозначим радиус основания цилиндра как $r$, а высоту как $h$.

Согласно условию, высота цилиндра на 12 см больше его радиуса. Это можно записать в виде уравнения:

$h = r + 12$

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ складывается из площади двух оснований ($2 \cdot \pi r^2$) и площади боковой поверхности ($2\pi r h$). Формула для площади полной поверхности имеет вид:

$S_{полн} = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r(r+h)$

По условию, $S_{полн} = 288\pi$ см². Составим уравнение:

$2\pi r(r+h) = 288\pi$

Подставим в это уравнение выражение для $h$ из первого соотношения ($h = r + 12$):

$2\pi r(r + (r + 12)) = 288\pi$

Упростим полученное уравнение. Сначала разделим обе части на $2\pi$:

$r(2r + 12) = 144$

Раскроем скобки:

$2r^2 + 12r = 144$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2r^2 + 12r - 144 = 0$

Для удобства решения разделим все члены уравнения на 2:

$r^2 + 6r - 72 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 36 + 288 = 324$

Найдем корни уравнения по формуле $r = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$r_1 = \frac{-6 + \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 18}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$r_2 = \frac{-6 - \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 18}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Поскольку радиус является геометрической величиной, он не может быть отрицательным. Следовательно, радиус основания цилиндра равен 6 см.

Теперь найдем высоту цилиндра, используя соотношение $h = r + 12$:

$h = 6 + 12 = 18$ см.

Ответ: радиус основания цилиндра равен 6 см, высота цилиндра равна 18 см.