Номер 1252, страница 329 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1252, страница 329.

Условие.

1252 Шар и цилиндр имеют равные объёмы, а диаметр шара равен диаметру цилиндра. Выразите высоту цилиндра через радиус шара.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Обозначим радиус шара как $R_ш$, а его объём как $V_ш$.
Формула объёма шара: $V_ш = \frac{4}{3}\pi R_ш^3$.

Обозначим радиус основания цилиндра как $R_ц$, его высоту как $H_ц$, а его объём как $V_ц$.
Формула объёма цилиндра: $V_ц = \pi R_ц^2 H_ц$.

По условию задачи, объёмы шара и цилиндра равны: $V_ш = V_ц$.

$\frac{4}{3}\pi R_ш^3 = \pi R_ц^2 H_ц$

Также по условию, диаметр шара равен диаметру цилиндра. Обозначим диаметры как $D_ш$ и $D_ц$.

$D_ш = D_ц$

Поскольку диаметр равен двум радиусам ($D=2R$), то $2R_ш = 2R_ц$, откуда следует, что радиусы шара и основания цилиндра равны:

$R_ш = R_ц$

Теперь подставим $R_ш$ вместо $R_ц$ в уравнение для объёмов:

$\frac{4}{3}\pi R_ш^3 = \pi R_ш^2 H_ц$

Чтобы выразить высоту цилиндра $H_ц$, разделим обе части уравнения на $\pi R_ш^2$ (при условии, что $R_ш \neq 0$):

$H_ц = \frac{\frac{4}{3}\pi R_ш^3}{\pi R_ш^2}$

Сокращаем $\pi$ и $R_ш^2$ в числителе и знаменателе:

$H_ц = \frac{4}{3} R_ш$

Таким образом, высота цилиндра равна $\frac{4}{3}$ радиуса шара.

Ответ: $H_ц = \frac{4}{3}R_ш$