Номер 1258, страница 330 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 10 - номер 1258, страница 330.

Условие.

1258 Из физики известно, что центр тяжести однородной треугольной пластинки находится в точке пересечения медиан. Найдите координаты центра тяжести такой пластинки, если координаты её вершин равны: $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$, $(x_3; y_3)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Согласно условию, центр тяжести однородной треугольной пластинки совпадает с точкой пересечения ее медиан (центроидом). Найдем координаты этой точки.

Пусть вершины треугольника имеют координаты $A(x_1; y_1)$, $B(x_2; y_2)$ и $C(x_3; y_3)$.

1. Найдем координаты середины $M$ стороны $BC$. Координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат его концов:$M(\frac{x_2 + x_3}{2}; \frac{y_2 + y_3}{2})$.

2. Медиана, проведенная из вершины $A$, соединяет точку $A$ с точкой $M$. Известно, что точка пересечения медиан (центроид) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Обозначим центр тяжести точкой $O(x_c; y_c)$. Тогда точка $O$ делит отрезок $AM$ так, что $AO : OM = 2 : 1$.

3. Воспользуемся формулой координат точки, которая делит отрезок в заданном отношении. Если точка $O(x_c; y_c)$ делит отрезок с концами $A(x_1; y_1)$ и $M(x_m; y_m)$ в отношении $2:1$, то ее координаты вычисляются по формулам:$x_c = \frac{1 \cdot x_1 + 2 \cdot x_m}{1+2}$$y_c = \frac{1 \cdot y_1 + 2 \cdot y_m}{1+2}$

4. Подставим найденные координаты точки $M$ в эти формулы:$x_c = \frac{x_1 + 2 \cdot (\frac{x_2 + x_3}{2})}{3} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$$y_c = \frac{y_1 + 2 \cdot (\frac{y_2 + y_3}{2})}{3} = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$

Таким образом, каждая координата центра тяжести треугольника является средним арифметическим соответствующих координат его вершин.

Ответ: Координаты центра тяжести $(x_c; y_c)$ находятся по формулам: $x_c = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$, $y_c = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$.