Номер 1260, страница 330 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 10 - номер 1260, страница 330.

Условие.

1260 В треугольнике $ABC$ $AC=9$ см, $BC=12$ см. Медианы $AM$ и $BN$ взаимно перпендикулярны. Найдите $AB$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть медианы $AM$ и $BN$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$.

По условию, медианы $AM$ и $BN$ взаимно перпендикулярны, следовательно, $AM \perp BN$. Это означает, что угол между ними равен $90^\circ$, то есть $\angle AOB = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $AOB$ является прямоугольным.

Известно, что медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно:

• $AO : OM = 2 : 1$
• $BO : ON = 2 : 1$

Так как $AM$ и $BN$ – медианы, то точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $BC$ и $AC$ соответственно.

Найдем длины отрезков $BM$ и $AN$:

$BM = \frac{1}{2}BC = \frac{12}{2} = 6$ см.

$AN = \frac{1}{2}AC = \frac{9}{2} = 4,5$ см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AON$ и $\triangle BOM$, которые образовались в результате пересечения медиан (углы $\angle AON$ и $\angle BOM$ прямые, так как $\angle AOB = 90^\circ$ и они являются вертикальными и смежными с ним).

Применим теорему Пифагора для $\triangle AON$:

$AN^2 = AO^2 + ON^2$

$(4,5)^2 = AO^2 + ON^2 \implies 20,25 = AO^2 + ON^2$

Применим теорему Пифагора для $\triangle BOM$:

$BM^2 = BO^2 + OM^2$

$6^2 = BO^2 + OM^2 \implies 36 = BO^2 + OM^2$

Для удобства введем переменные. Пусть $OM = x$ и $ON = y$. Тогда, исходя из свойства медиан, $AO = 2x$ и $BO = 2y$. Подставим эти выражения в полученные уравнения:

$20,25 = (2x)^2 + y^2 \implies 20,25 = 4x^2 + y^2$ (1)

$36 = (2y)^2 + x^2 \implies 36 = 4y^2 + x^2$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Сложим эти два уравнения:

$20,25 + 36 = (4x^2 + y^2) + (x^2 + 4y^2)$

$56,25 = 5x^2 + 5y^2$

$56,25 = 5(x^2 + y^2)$

Отсюда находим сумму квадратов $x$ и $y$:

$x^2 + y^2 = \frac{56,25}{5} = 11,25$

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle AOB$. Нам нужно найти длину его гипотенузы $AB$. По теореме Пифагора:

$AB^2 = AO^2 + BO^2$

Подставим выражения для $AO$ и $BO$ через $x$ и $y$:

$AB^2 = (2x)^2 + (2y)^2 = 4x^2 + 4y^2 = 4(x^2 + y^2)$

Мы уже нашли значение для $x^2 + y^2$. Подставим его в формулу для $AB^2$:

$AB^2 = 4 \cdot 11,25 = 45$

Теперь найдем длину $AB$, извлекая квадратный корень:

$AB = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ см.

Ответ: $3\sqrt{5}$ см.