Номер 1256, страница 330 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 10 - номер 1256, страница 330.

Условие.

1256 Вершины четырёхугольника ABCD имеют координаты $A(x_1; y_1)$, $B(x_2; y_2)$, $C(x_3; y_3)$ и $D(x_4; y_4)$. Докажите, что этот четырёхугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда $x_1 + x_3 = x_2 + x_4$ и $y_1 + y_3 = y_2 + y_4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства утверждения «тогда и только тогда» необходимо доказать два взаимно обратных утверждения:
1. (Необходимость) Если четырехугольник ABCD является параллелограммом, то выполняются равенства $x_1 + x_3 = x_2 + x_4$ и $y_1 + y_3 = y_2 + y_4$.
2. (Достаточность) Если для вершин четырехугольника ABCD выполняются равенства $x_1 + x_3 = x_2 + x_4$ и $y_1 + y_3 = y_2 + y_4$, то он является параллелограммом.

Доказательство основывается на свойстве параллелограмма: его диагонали пересекаются в одной точке, которая является серединой каждой из них.
Координаты $(x_M; y_M)$ середины отрезка с концами в точках $(x_a; y_a)$ и $(x_b; y_b)$ находятся по формулам: $x_M = \frac{x_a + x_b}{2}$ и $y_M = \frac{y_a + y_b}{2}$.

Доказательство необходимости

Пусть ABCD — параллелограмм. По свойству параллелограмма, его диагонали AC и BD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это значит, что середина диагонали AC совпадает с серединой диагонали BD.
Найдем координаты середины диагонали AC, соединяющей точки $A(x_1; y_1)$ и $C(x_3; y_3)$:
$M_{AC} \left( \frac{x_1 + x_3}{2}; \frac{y_1 + y_3}{2} \right)$
Найдем координаты середины диагонали BD, соединяющей точки $B(x_2; y_2)$ и $D(x_4; y_4)$:
$M_{BD} \left( \frac{x_2 + x_4}{2}; \frac{y_2 + y_4}{2} \right)$
Так как точки $M_{AC}$ и $M_{BD}$ совпадают, их соответствующие координаты равны:
$\frac{x_1 + x_3}{2} = \frac{x_2 + x_4}{2}$
$\frac{y_1 + y_3}{2} = \frac{y_2 + y_4}{2}$
Умножив обе части каждого равенства на 2, получим требуемые соотношения:
$x_1 + x_3 = x_2 + x_4$
$y_1 + y_3 = y_2 + y_4$
Первая часть утверждения доказана.

Доказательство достаточности

Пусть для координат вершин четырехугольника ABCD выполняются равенства:
$x_1 + x_3 = x_2 + x_4$
$y_1 + y_3 = y_2 + y_4$
Разделим обе части каждого равенства на 2:
$\frac{x_1 + x_3}{2} = \frac{x_2 + x_4}{2}$
$\frac{y_1 + y_3}{2} = \frac{y_2 + y_4}{2}$
Выражения в левой части представляют собой абсциссу и ординату середины диагонали AC. Выражения в правой части — абсциссу и ординату середины диагонали BD.
Таким образом, координаты середины диагонали AC совпадают с координатами середины диагонали BD. Это означает, что диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Согласно признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Следовательно, ABCD является параллелограммом. Вторая часть утверждения доказана.

Поскольку доказаны и необходимость, и достаточность, исходное утверждение полностью доказано.
Ответ: Утверждение доказано.