Номер 1259, страница 330 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 10 - номер 1259, страница 330.

Условие.

1259 Вершины треугольника $ABC$ имеют координаты $A(-3; 0)$, $B(0; 4)$, $C(3; 0)$. Биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $D$. Найдите координаты точки $D$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для нахождения координат точки $D$ воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Для треугольника $ABC$ и биссектрисы $AD$ угла $A$ это свойство записывается в виде следующего соотношения:

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$

Сначала найдем длины сторон $AB$ и $AC$, используя формулу расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ на плоскости: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Даны координаты вершин:

$A(-3; 0)$

$B(0; 4)$

$C(3; 0)$

1. Вычислим длину стороны AB:

$AB = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

2. Вычислим длину стороны AC:

$AC = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(6)^2 + (0)^2} = \sqrt{36} = 6$

3. Найдем отношение, в котором точка D делит сторону BC:

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{6}$

Это означает, что точка $D$ делит отрезок $BC$ в отношении $5:6$.

4. Найдем координаты точки D:

Координаты точки $D(x_D; y_D)$, которая делит отрезок с концами в точках $B(x_B; y_B)$ и $C(x_C; y_C)$ в отношении $\lambda = \frac{m}{n}$ (в нашем случае $m=5, n=6$), находятся по формулам:

$x_D = \frac{n \cdot x_B + m \cdot x_C}{m+n}$

$y_D = \frac{n \cdot y_B + m \cdot y_C}{m+n}$

Подставим известные значения координат точек $B(0; 4)$, $C(3; 0)$ и отношение $m=5, n=6$:

$x_D = \frac{6 \cdot 0 + 5 \cdot 3}{5+6} = \frac{0 + 15}{11} = \frac{15}{11}$

$y_D = \frac{6 \cdot 4 + 5 \cdot 0}{5+6} = \frac{24 + 0}{11} = \frac{24}{11}$

Следовательно, координаты точки $D$ равны $(\frac{15}{11}; \frac{24}{11})$.

Ответ: $(\frac{15}{11}; \frac{24}{11})$