Номер 1266, страница 330 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 10 - номер 1266, страница 330.

Условие.

1266 Даны прямая $a$ и точка $A$, не лежащая на ней. Для каждой точки $M_1$ прямой $a$ на луче $AM_1$ взята такая точка $M$, что $AM_1 \cdot AM = k$, где $k$ — данное положительное число. Найдите множество всех точек $M$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть даны прямая $a$ и точка $A$, не лежащая на ней. Опустим из точки $A$ перпендикуляр $AH$ на прямую $a$. Обозначим расстояние $h = AH$. Так как точка $A$ не лежит на прямой $a$, то $h > 0$.

Для каждой точки $M_1$ на прямой $a$ мы ищем точку $M$ на луче $AM_1$ такую, что выполняется условие $AM_1 \cdot AM = k$, где $k$ — данное положительное число.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHM_1$ (с прямым углом при вершине $H$). Пусть $\alpha = \angle M_1AH$. Из этого треугольника мы можем выразить длину отрезка $AM_1$:

$\cos(\alpha) = \frac{AH}{AM_1} = \frac{h}{AM_1}$

Отсюда следует, что $AM_1 = \frac{h}{\cos(\alpha)}$. Заметим, что угол $\alpha$ может изменяться в пределах от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$, поэтому $\cos(\alpha) > 0$.

Теперь используем данное в условии равенство $AM_1 \cdot AM = k$. Подставим в него найденное выражение для $AM_1$:

$\frac{h}{\cos(\alpha)} \cdot AM = k$

Выразим отсюда $AM$:

$AM = \frac{k}{h}\cos(\alpha)$

Это уравнение связывает расстояние от точки $A$ до точки $M$ с углом $\alpha$. Если мы введем полярную систему координат с полюсом в точке $A$ и полярной осью, направленной по лучу $AH$, то $AM$ будет полярным радиусом $r$, а $\alpha$ — полярным углом $\theta$. Уравнение примет вид:

$r = d \cos(\theta)$, где $d = \frac{k}{h}$ является константой.

Это каноническое уравнение окружности в полярных координатах. Такая окружность проходит через полюс (точку $A$), а ее диаметр равен $d = \frac{k}{h}$ и лежит на полярной оси (прямой $AH$).

Таким образом, искомое множество точек $M$ — это окружность, проходящая через точку $A$. Диаметр этой окружности лежит на прямой $AH$, перпендикулярной прямой $a$. Длина этого диаметра равна $\frac{k}{h}$.

Необходимо уточнить, принадлежит ли сама точка $A$ этому множеству. Если $M=A$, то $AM=0$. Из условия $AM_1 \cdot AM = k$ при $k>0$ следует, что $AM_1$ должно быть бесконечным, что означает, что точка $M_1$ не является точкой прямой $a$. Следовательно, сама точка $A$ исключается из искомого множества.

Ответ: Искомое множество точек — это окружность, проходящая через точку $A$, диаметр которой лежит на прямой, перпендикулярной прямой $a$ и проходящей через $A$. Длина этого диаметра равна $\frac{k}{h}$, где $h$ — расстояние от точки $A$ до прямой $a$. Сама точка $A$ из этого множества исключается.