Номер 1270, страница 331 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 11 - номер 1270, страница 331.

Условие.

1270 Диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Площадь треугольника $ODC$ есть среднее пропорциональное между площадями треугольников $OBC$ и $OAD$. Докажите, что $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC$ или параллелограмм.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть $S_{OAD}$, $S_{OBC}$ и $S_{ODC}$ — площади треугольников $OAD$, $OBC$ и $ODC$ соответственно, образованных пересечением диагоналей $AC$ и $BD$ четырехугольника $ABCD$ в точке $O$.

По условию задачи, площадь треугольника $ODC$ является средним пропорциональным (средним геометрическим) площадей треугольников $OBC$ и $OAD$. Математически это записывается так:
$S_{ODC} = \sqrt{S_{OBC} \cdot S_{OAD}}$
Возведя обе части этого равенства в квадрат, получаем:
$S_{ODC}^2 = S_{OBC} \cdot S_{OAD}$

Выразим площади этих треугольников, используя формулу площади треугольника через две стороны и синус угла между ними. Пусть угол $\angle BOC = \alpha$. Тогда смежный с ним угол $\angle COD = 180^\circ - \alpha$, а вертикальные им углы $\angle AOD = \alpha$ и $\angle AOB = 180^\circ - \alpha$. Учтем, что $\sin(\alpha) = \sin(180^\circ - \alpha)$.
$S_{OAD} = \frac{1}{2} OA \cdot OD \sin(\alpha)$
$S_{OBC} = \frac{1}{2} OB \cdot OC \sin(\alpha)$
$S_{ODC} = \frac{1}{2} OD \cdot OC \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{1}{2} OD \cdot OC \sin(\alpha)$

Теперь подставим эти выражения в выведенное нами равенство:
$(\frac{1}{2} OD \cdot OC \sin(\alpha))^2 = (\frac{1}{2} OB \cdot OC \sin(\alpha)) \cdot (\frac{1}{2} OA \cdot OD \sin(\alpha))$
$\frac{1}{4} OD^2 \cdot OC^2 \sin^2(\alpha) = \frac{1}{4} (OA \cdot OB \cdot OC \cdot OD) \sin^2(\alpha)$

Для невырожденного четырехугольника $OA, OB, OC, OD > 0$ и $\sin(\alpha) \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $\frac{1}{4} OD \cdot OC \sin^2(\alpha)$, получив:
$OD \cdot OC = OA \cdot OB$

Перепишем это равенство в виде пропорции, которая связывает отрезки диагоналей:
$\frac{OA}{OC} = \frac{OD}{OB}$

Рассмотрим пару треугольников $\triangle OAD$ и $\triangle OCB$.
1. У них есть пара равных углов: $\angle AOD = \angle COB$ (как вертикальные углы).
2. Стороны, образующие эти углы, пропорциональны, как было показано выше: $\frac{OA}{OC} = \frac{OD}{OB}$.
Таким образом, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольник $\triangle OAD$ подобен треугольнику $\triangle OCB$ ($\triangle OAD \sim \triangle OCB$).

Из подобия треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности:
$\angle OAD = \angle OCB$ (или $\angle CAD = \angle ACB$).
Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$. Поскольку эти углы равны, прямые $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$).

Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, по определению является трапецией. Значит, $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC$. Параллелограмм является частным случаем трапеции, в котором и другая пара сторон параллельна, поэтому данное условие также выполняется и для него.

Ответ: Утверждение о том, что $ABCD$ является трапецией с основаниями $AD$ и $BC$ или параллелограммом, доказано.