Номер 1264, страница 330 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 10 - номер 1264, страница 330.

Условие.

1264 Найдите точки пересечения двух окружностей, заданных уравнениями $(x-1)^2+(y-2)^2=4$ и $x^2+y^2=1$, и вычислите длину их общей хорды.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для нахождения точек пересечения двух окружностей, заданных уравнениями $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 4$ и $x^2 + y^2 = 1$, необходимо решить систему этих уравнений.

$ \begin{cases} (x-1)^2 + (y-2)^2 = 4 & (1) \\ x^2 + y^2 = 1 & (2) \end{cases} $

Найдите точки пересечения двух окружностей

Сначала раскроем скобки в первом уравнении:

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 4$

Сгруппируем члены, чтобы использовать второе уравнение:

$(x^2 + y^2) - 2x - 4y + 5 = 4$

Из уравнения (2) известно, что $x^2 + y^2 = 1$. Подставим это значение в преобразованное уравнение (1):

$1 - 2x - 4y + 5 = 4$

$6 - 2x - 4y = 4$

$-2x - 4y = 4 - 6$

$-2x - 4y = -2$

Разделим обе части уравнения на -2, чтобы упростить его:

$x + 2y = 1$

Это уравнение прямой, на которой лежат точки пересечения окружностей. Выразим $x$ через $y$:

$x = 1 - 2y$

Теперь подставим это выражение для $x$ в уравнение второй окружности (2), так как оно проще:

$(1 - 2y)^2 + y^2 = 1$

$1 - 4y + 4y^2 + y^2 = 1$

$5y^2 - 4y = 0$

Вынесем $y$ за скобки, чтобы найти корни уравнения:

$y(5y - 4) = 0$

Это уравнение имеет два решения для $y$:

1. $y_1 = 0$

2. $5y_2 - 4 = 0 \implies y_2 = \frac{4}{5}$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$, используя выражение $x = 1 - 2y$:

Для $y_1 = 0$: $x_1 = 1 - 2(0) = 1$. Первая точка пересечения — $(1, 0)$.

Для $y_2 = \frac{4}{5}$: $x_2 = 1 - 2\left(\frac{4}{5}\right) = 1 - \frac{8}{5} = \frac{5}{5} - \frac{8}{5} = -\frac{3}{5}$. Вторая точка пересечения — $(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$.

Ответ: Точки пересечения окружностей: $(1, 0)$ и $(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$.

Вычислите длину их общей хорды

Общая хорда — это отрезок, соединяющий найденные точки пересечения $A(1, 0)$ и $B(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$. Длину этого отрезка можно найти по формуле расстояния между двумя точками на плоскости: $d = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

Подставим координаты точек A и B в формулу:

$d = \sqrt{\left(-\frac{3}{5} - 1\right)^2 + \left(\frac{4}{5} - 0\right)^2}$

$d = \sqrt{\left(-\frac{3}{5} - \frac{5}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2}$

$d = \sqrt{\left(-\frac{8}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2}$

$d = \sqrt{\frac{64}{25} + \frac{16}{25}}$

$d = \sqrt{\frac{64+16}{25}} = \sqrt{\frac{80}{25}}$

Упростим полученное выражение:

$d = \sqrt{\frac{16 \cdot 5}{25}} = \frac{\sqrt{16} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{25}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$

Ответ: Длина общей хорды равна $\frac{4\sqrt{5}}{5}$.