Номер 1265, страница 330 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 10 - номер 1265, страница 330.

Условие.

1265 Даны три точки $A$, $B$, $C$ и три числа $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Найдите множество всех точек $M$, для каждой из которых сумма $\alpha AM^2 + \beta BM^2 + \gamma CM^2$ имеет постоянное значение, если:

a) $\alpha + \beta + \gamma \neq 0$;

б) $\alpha + \beta + \gamma = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Обозначим радиус-векторы точек $A$, $B$, $C$, $M$ относительно некоторого начала координат $O$ как $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{m}$ соответственно. Тогда квадрат расстояния между двумя точками, например $A$ и $M$, выражается через их радиус-векторы как $AM^2 = |\vec{m} - \vec{a}|^2 = (\vec{m} - \vec{a})\cdot(\vec{m} - \vec{a}) = |\vec{m}|^2 - 2\vec{m}\cdot\vec{a} + |\vec{a}|^2$.

Условие задачи можно записать в виде: $\alpha AM^2 + \beta BM^2 + \gamma CM^2 = k$, где $k$ – некоторая константа.

Подставим векторные выражения для квадратов расстояний в это уравнение:

$\alpha(|\vec{m}|^2 - 2\vec{m}\cdot\vec{a} + |\vec{a}|^2) + \beta(|\vec{m}|^2 - 2\vec{m}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2) + \gamma(|\vec{m}|^2 - 2\vec{m}\cdot\vec{c} + |\vec{c}|^2) = k$

Сгруппируем слагаемые при одинаковых степенях $\vec{m}$:

$(\alpha + \beta + \gamma)|\vec{m}|^2 - 2\vec{m}\cdot(\alpha\vec{a} + \beta\vec{b} + \gamma\vec{c}) + (\alpha|\vec{a}|^2 + \beta|\vec{b}|^2 + \gamma|\vec{c}|^2) = k$

Дальнейший анализ зависит от значения суммы $\alpha + \beta + \gamma$.

a) $\alpha + \beta + \gamma \neq 0$

Пусть $S = \alpha + \beta + \gamma$. Поскольку $S \neq 0$, мы можем ввести точку $O'$ — барицентр (центр масс) системы точек $A$, $B$, $C$ с массами $\alpha, \beta, \gamma$. Её радиус-вектор $\vec{o'}$ определяется как $\vec{o'} = \frac{\alpha\vec{a} + \beta\vec{b} + \gamma\vec{c}}{\alpha + \beta + \gamma}$.

Перепишем наше уравнение, используя $S$ и $\vec{o'}$:

$S|\vec{m}|^2 - 2\vec{m}\cdot(S\vec{o'}) + (\alpha|\vec{a}|^2 + \beta|\vec{b}|^2 + \gamma|\vec{c}|^2) = k$

Разделим обе части на $S$:

$|\vec{m}|^2 - 2\vec{m}\cdot\vec{o'} + \frac{\alpha|\vec{a}|^2 + \beta|\vec{b}|^2 + \gamma|\vec{c}|^2 - k}{S} = 0$

Дополним левую часть до полного квадрата разности векторов:

$(|\vec{m}|^2 - 2\vec{m}\cdot\vec{o'} + |\vec{o'}|^2) - |\vec{o'}|^2 + \frac{\alpha|\vec{a}|^2 + \beta|\vec{b}|^2 + \gamma|\vec{c}|^2 - k}{S} = 0$

$|\vec{m} - \vec{o'}|^2 = |\vec{o'}|^2 - \frac{\alpha|\vec{a}|^2 + \beta|\vec{b}|^2 + \gamma|\vec{c}|^2 - k}{S}$

Это уравнение вида $MO'^2 = R^2$, где правая часть является константой. Оно задает окружность (в случае задачи на плоскости) или сферу (в пространстве) с центром в точке $O'$. В зависимости от значения константы $k$ (и, следовательно, от знака правой части уравнения), искомое множество точек может быть:
1. Окружностью (сферой), если правая часть положительна.
2. Одной точкой $O'$, если правая часть равна нулю.
3. Пустым множеством, если правая часть отрицательна.

Ответ: Окружность (в пространстве — сфера), которая в частных случаях может вырождаться в точку или быть пустым множеством.

б) $\alpha + \beta + \gamma = 0$

В этом случае коэффициент при $|\vec{m}|^2$ в общем уравнении равен нулю, и оно принимает вид:

$- 2\vec{m}\cdot(\alpha\vec{a} + \beta\vec{b} + \gamma\vec{c}) + (\alpha|\vec{a}|^2 + \beta|\vec{b}|^2 + \gamma|\vec{c}|^2) = k$

Обозначим вектор $\vec{v} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b} + \gamma\vec{c}$ и константу $C = \alpha|\vec{a}|^2 + \beta|\vec{b}|^2 + \gamma|\vec{c}|^2$. Тогда уравнение можно записать как $2\vec{m}\cdot\vec{v} = C - k$.

Рассмотрим два возможных случая.
Случай 1: Вектор $\vec{v} \neq \vec{0}$. Уравнение $\vec{m}\cdot\vec{v} = \frac{C-k}{2}$ является уравнением прямой на плоскости (или плоскости в пространстве), нормальный вектор которой равен $\vec{v}$. Таким образом, множество точек $M$ — это прямая (или плоскость).
Случай 2: Вектор $\vec{v} = \vec{0}$. Это возможно, если точки $A$, $B$, $C$ расположены определенным образом (например, коллинеарны) и/или числа $\alpha, \beta, \gamma$ подобраны соответствующе. В этом случае уравнение превращается в $0 = C - k$. Если заданная константа $k$ равна $C$, то равенство $0=0$ выполняется для любой точки $M$, и искомое множество — вся плоскость (или все пространство). Если же $k \neq C$, то равенство неверно, и ни одна точка $M$ не удовлетворяет условию, то есть искомое множество — пустое.

Ответ: Прямая (в пространстве — плоскость), которая в частных случаях может быть всей плоскостью (пространством) или пустым множеством.