Номер 1272, страница 331 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 11 - номер 1272, страница 331.

Условие.

1272 Докажите, что в треугольнике ABC биссектриса AA₁ вычисляется по формуле $AA_1 = \frac{2bc \cos\frac{A}{2}}{b+c}$, где $b = AC$, $c = AB$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства данной формулы воспользуемся методом площадей. Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AA_1$ – биссектриса угла $A$. Стороны, прилежащие к этому углу, равны $AB = c$ и $AC = b$.

Биссектриса $AA_1$ делит треугольник $ABC$ на два меньших треугольника: $\triangle ABA_1$ и $\triangle ACA_1$. Площадь исходного треугольника равна сумме площадей этих двух треугольников: $S_{ABC} = S_{ABA_1} + S_{ACA_1}$.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}xy\sin\gamma$, где $x$ и $y$ – две стороны, а $\gamma$ – угол между ними. Применим эту формулу для наших треугольников.

Площадь $\triangle ABC$ равна: $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{2}bc\sin A$.

Поскольку $AA_1$ – биссектриса, она делит угол $A$ пополам: $\angle BAA_1 = \angle CAA_1 = \frac{A}{2}$. Площадь $\triangle ABA_1$ равна: $S_{ABA_1} = \frac{1}{2} AB \cdot AA_1 \cdot \sin(\angle BAA_1) = \frac{1}{2}c \cdot AA_1 \cdot \sin\frac{A}{2}$.

Площадь $\triangle ACA_1$ равна: $S_{ACA_1} = \frac{1}{2} AC \cdot AA_1 \cdot \sin(\angle CAA_1) = \frac{1}{2}b \cdot AA_1 \cdot \sin\frac{A}{2}$.

Теперь подставим выражения для площадей в наше исходное равенство: $\frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}c \cdot AA_1 \cdot \sin\frac{A}{2} + \frac{1}{2}b \cdot AA_1 \cdot \sin\frac{A}{2}$.

Умножим обе части уравнения на 2: $bc\sin A = c \cdot AA_1 \cdot \sin\frac{A}{2} + b \cdot AA_1 \cdot \sin\frac{A}{2}$.

В правой части вынесем за скобки общий множитель $AA_1 \sin\frac{A}{2}$: $bc\sin A = AA_1 (b+c) \sin\frac{A}{2}$.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin A = 2\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}$. Подставим ее в левую часть: $bc(2\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}) = AA_1 (b+c) \sin\frac{A}{2}$.

Так как $A$ – угол треугольника, $0^\circ < A < 180^\circ$, то $0^\circ < \frac{A}{2} < 90^\circ$, и, следовательно, $\sin\frac{A}{2} \ne 0$. Мы можем разделить обе части равенства на $\sin\frac{A}{2}$: $2bc\cos\frac{A}{2} = AA_1 (b+c)$.

Из этого уравнения выражаем длину биссектрисы $AA_1$: $AA_1 = \frac{2bc\cos\frac{A}{2}}{b+c}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: