Номер 1278, страница 332 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 11 - номер 1278, страница 332.

Условие.

1278 В треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$ длиной $h$, медиана $AM$ длиной $l$, биссектриса $AN$. Точка $N$ — середина отрезка $MH$. Найдите расстояние от вершины $A$ до точки пересечения высот треугольника $ABC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Введем прямоугольную систему координат. Пусть прямая, содержащая сторону $BC$, является осью абсцисс ($Ox$), а высота $AH$ лежит на оси ординат ($Oy$). В этой системе координат точка $H$ (основание высоты) имеет координаты $(0, 0)$, а вершина $A$ — $(0, h)$. Точки $M$ (основание медианы) и $N$ (основание биссектрисы) лежат на оси $Ox$. Пусть их координаты $M(x_M, 0)$ и $N(x_N, 0)$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHM$ (угол $H$ прямой, так как $AH$ — высота). По теореме Пифагора:$AM^2 = AH^2 + HM^2$$l^2 = h^2 + HM^2$Отсюда длина отрезка $HM = \sqrt{l^2 - h^2}$. Без ограничения общности, расположим точку $M$ на положительной части оси $Ox$. Тогда ее координата $x_M = \sqrt{l^2 - h^2}$. Итак, $M(\sqrt{l^2 - h^2}, 0)$.

По условию, точка $N$ является серединой отрезка $MH$. Координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат его концов:$x_N = \frac{x_H + x_M}{2} = \frac{0 + \sqrt{l^2 - h^2}}{2} = \frac{\sqrt{l^2 - h^2}}{2}$. Таким образом, $N(\frac{\sqrt{l^2 - h^2}}{2}, 0)$.

Пусть $K$ — ортоцентр треугольника $ABC$. Нам нужно найти расстояние $AK$. Воспользуемся известным свойством: расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противоположной стороны. То есть, $AK = 2 \cdot d(O, BC)$, где $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$.

Центр описанной окружности $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$. Так как $M$ — середина $BC$, то серединный перпендикуляр — это прямая, проходящая через $M$ и перпендикулярная $BC$ (оси $Ox$). Уравнение этой прямой: $x = x_M$. Следовательно, центр описанной окружности имеет координаты $O(x_M, y_O)$. Расстояние от точки $O$ до прямой $BC$ (оси $Ox$) равно $|y_O|$. Таким образом, $AK = 2|y_O|$. Наша задача — найти $y_O$.

Воспользуемся еще одним известным свойством: биссектриса угла треугольника делит пополам угол между высотой и радиусом описанной окружности, проведенными из той же вершины. В нашем случае, биссектриса $AN$ делит пополам угол $HAO$. Это означает, что $\angle HAN = \angle OAN$.

Выразим это условие через координаты. Условие равенства углов эквивалентно равенству косинусов этих углов (так как углы острые). Рассмотрим векторы с началом в точке $A(0, h)$:$\vec{AH} = (0, -h)$$\vec{AN} = (x_N - 0, 0 - h) = (\frac{x_M}{2}, -h)$$\vec{AO} = (x_M - 0, y_O - h) = (x_M, y_O - h)$

Из $\cos(\angle HAN) = \cos(\angle OAN)$ следует:$\frac{\vec{AH} \cdot \vec{AN}}{|\vec{AH}| \cdot |\vec{AN}|} = \frac{\vec{AN} \cdot \vec{AO}}{|\vec{AN}| \cdot |\vec{AO}|}$$\frac{\vec{AH} \cdot \vec{AN}}{|\vec{AH}|} = \frac{\vec{AN} \cdot \vec{AO}}{|\vec{AO}|}$

Вычислим скалярные произведения и длины векторов:$\vec{AH} \cdot \vec{AN} = 0 \cdot \frac{x_M}{2} + (-h) \cdot (-h) = h^2$$|\vec{AH}| = h$$\vec{AN} \cdot \vec{AO} = \frac{x_M}{2} \cdot x_M + (-h) \cdot (y_O - h) = \frac{x_M^2}{2} - h(y_O - h)$$|\vec{AO}|$ — это расстояние от вершины $A$ до центра описанной окружности $O$, то есть радиус $R$ этой окружности.$R^2 = |\vec{AO}|^2 = (x_M - 0)^2 + (y_O - h)^2 = x_M^2 + (y_O-h)^2$.

Подставляем в равенство:$\frac{h^2}{h} = \frac{\frac{x_M^2}{2} - h(y_O - h)}{R}$$hR = \frac{x_M^2}{2} - h(y_O - h)$, откуда $y_O - h = \frac{x_M^2}{2h} - R$.

Теперь подставим это выражение в формулу для радиуса:$R^2 = x_M^2 + (\frac{x_M^2}{2h} - R)^2 = x_M^2 + \frac{x_M^4}{4h^2} - \frac{x_M^2 R}{h} + R^2$$0 = x_M^2 + \frac{x_M^4}{4h^2} - \frac{x_M^2 R}{h}$Так как $l \neq h$, то $x_M \neq 0$, и мы можем разделить обе части на $x_M^2$:$0 = 1 + \frac{x_M^2}{4h^2} - \frac{R}{h} \implies R = h + \frac{x_M^2}{4h}$.

Теперь найдем $y_O$. Из выражения $y_O - h = \frac{x_M^2}{2h} - R$ получаем:$y_O = h + \frac{x_M^2}{2h} - R = h + \frac{x_M^2}{2h} - (h + \frac{x_M^2}{4h}) = \frac{x_M^2}{2h} - \frac{x_M^2}{4h} = \frac{x_M^2}{4h}$.

Подставим ранее найденное выражение $x_M^2 = l^2 - h^2$:$y_O = \frac{l^2 - h^2}{4h}$.

Наконец, находим искомое расстояние $AK$:$AK = 2|y_O| = 2 \cdot \frac{l^2 - h^2}{4h} = \frac{l^2 - h^2}{2h}$.(Поскольку $l$ — гипотенуза, а $h$ — катет в $\triangle AHM$, то $l \ge h$, следовательно $l^2-h^2 \ge 0$, и знак модуля можно опустить).

Ответ: $\frac{l^2 - h^2}{2h}$