Номер 1283, страница 332 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 12 - номер 1283, страница 332.

Условие.

1283 В данную окружность впишите правильный пятиугольник.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для построения правильного пятиугольника, вписанного в данную окружность, с помощью циркуля и линейки без делений, необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1. Пусть дана окружность с центром в точке O. Проведем через центр O два взаимно перпендикулярных диаметра, например, AB и CD.

2. Найдем середину одного из радиусов, например, OA. Обозначим эту точку как M. Это можно сделать, построив серединный перпендикуляр к отрезку OA.

3. Установим ножку циркуля в точку M, а грифель — в точку C. Проведем дугу окружности радиусом MC так, чтобы она пересекла диаметр AB в точке K, лежащей на радиусе OB.

4. Длина отрезка CK является точной длиной стороны искомого правильного пятиугольника.

5. С помощью циркуля, установив его раствор равным длине отрезка CK, отложим на окружности пять последовательных хорд. Начиная с точки C, отметим на окружности точку E так, что CE = CK. Затем из точки E отметим точку F так, что EF = CK, и так далее, пока не получим пять вершин: C, E, F, G, H.

6. Соединив последовательно отрезками точки C, E, F, G, H, получим искомый правильный пятиугольник CEFGH, вписанный в данную окружность.

Обоснование построения:

Докажем, что длина построенного отрезка CK действительно равна стороне правильного пятиугольника, вписанного в окружность. Пусть радиус данной окружности равен $R$.

По построению, $OC = R$ и $OA = R$. Точка M — середина радиуса OA, следовательно, $OM = \frac{R}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OMC (угол MOC прямой). По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы MC:

$MC = \sqrt{OM^2 + OC^2} = \sqrt{\left(\frac{R}{2}\right)^2 + R^2} = \sqrt{\frac{R^2}{4} + R^2} = \sqrt{\frac{5R^2}{4}} = \frac{R\sqrt{5}}{2}$.

По построению, радиус дуги, проведенной из центра M, равен MC, значит, $MK = MC = \frac{R\sqrt{5}}{2}$.

Точка K лежит на радиусе OB, поэтому длина отрезка OK равна разности длин MK и OM:

$OK = MK - OM = \frac{R\sqrt{5}}{2} - \frac{R}{2} = R\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник OCK (угол KOC прямой). По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы CK, которая, как мы утверждаем, является стороной пятиугольника ($a_5$):

$a_5^2 = CK^2 = OC^2 + OK^2 = R^2 + \left(R\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2 = R^2 + R^2\frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{4} = R^2\left(1 + \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4}\right) = R^2\left(\frac{4 + 6 - 2\sqrt{5}}{4}\right) = R^2\frac{10 - 2\sqrt{5}}{4}$.

Отсюда находим длину стороны:

$a_5 = CK = \sqrt{R^2\frac{10 - 2\sqrt{5}}{4}} = \frac{R}{2}\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}$.

Это выражение является точной формулой для длины стороны правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса $R$. Таким образом, построение является математически верным.

Ответ: Правильный пятиугольник строится в соответствии с приведенным алгоритмом построения, который позволяет с помощью циркуля и линейки найти точную длину стороны пятиугольника и отложить ее на окружности для нахождения вершин.