Номер 1290, страница 333 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 12 - номер 1290, страница 333.

Условие.

1290 Постройте границу круга, площадь которого равна:

а) площади кольца между двумя данными концентрическими окружностями;

б) площади данного полукруга;

в) площади данного кругового сектора, ограниченного дугой в $60^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

а) площади кольца между двумя данными концентрическими окружностями;

Пусть даны две концентрические окружности с общим центром $O$, радиусами $R$ и $r$ ($R > r$). Площадь кольца, заключенного между ними, вычисляется как разность площадей большего и меньшего кругов: $S_{кольца} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$.

Требуется построить окружность, ограничивающую круг площадью $S_{иск} = S_{кольца}$. Если радиус искомой окружности равен $R_{иск}$, то ее площадь $S_{иск} = \pi R_{иск}^2$.

Приравнивая площади, получаем: $\pi R_{иск}^2 = \pi(R^2 - r^2)$, откуда $R_{иск}^2 = R^2 - r^2$. Следовательно, искомый радиус $R_{иск} = \sqrt{R^2 - r^2}$.

Из этой формулы видно, что искомый радиус $R_{иск}$ является катетом прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза равна $R$, а второй катет равен $r$. Для построения искомой окружности достаточно построить отрезок такой длины.

Построение:

1. Проведем касательную к меньшей окружности (с радиусом $r$) в произвольной ее точке $T$.

2. Эта касательная пересечет большую окружность (с радиусом $R$) в двух точках. Обозначим одну из этих точек пересечения буквой $A$.

3. Соединим центр окружностей $O$ с точками $A$ и $T$. Получим треугольник $OTA$.

4. Треугольник $OTA$ является прямоугольным, так как радиус $OT$, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной $AT$ (угол $\angle OTA = 90^\circ$).

5. В этом прямоугольном треугольнике гипотенуза $OA$ равна радиусу большей окружности $R$, а катет $OT$ равен радиусу меньшей окружности $r$.

6. По теореме Пифагора, длина второго катета $AT$ равна $\sqrt{OA^2 - OT^2} = \sqrt{R^2 - r^2}$. Этот отрезок и является радиусом искомой окружности $R_{иск}$.

7. Используя циркуль, строим окружность с любым центром и радиусом, равным длине отрезка $AT$.

Ответ: Радиус искомой окружности равен длине отрезка касательной к меньшей окружности, проведенной из точки на большей окружности до точки касания. Построив этот отрезок (катет прямоугольного треугольника с гипотенузой $R$ и другим катетом $r$), строим искомую окружность.

б) площади данного полукруга;

Пусть дан полукруг радиуса $r$. Его площадь равна половине площади круга с таким же радиусом: $S_{полукруга} = \frac{1}{2}\pi r^2$.

Пусть искомая окружность имеет радиус $R_{иск}$. Ее площадь $S_{иск} = \pi R_{иск}^2$.

Из условия $S_{иск} = S_{полукруга}$ имеем: $\pi R_{иск}^2 = \frac{1}{2}\pi r^2$, откуда $R_{иск}^2 = \frac{r^2}{2} = r \cdot \frac{r}{2}$.

Следовательно, искомый радиус $R_{иск} = \sqrt{r \cdot \frac{r}{2}}$ является средним геометрическим (средним пропорциональным) отрезков длиной $r$ и $\frac{r}{2}$.

Построение:

1. Возьмем отрезок, равный радиусу $r$ данного полукруга.

2. Построим отрезок длиной $\frac{r}{2}$, разделив отрезок $r$ пополам (например, с помощью построения серединного перпендикуляра).

3. На произвольной прямой отложим последовательно два отрезка: $AB$ длиной $r$ и $BC$ длиной $\frac{r}{2}$.

4. Построим полуокружность, диаметром которой является отрезок $AC = r + \frac{r}{2}$. Для этого найдем середину $M$ отрезка $AC$ и проведем дугу с центром в $M$ и радиусом $MA=MC$.

5. В точке $B$ восстановим перпендикуляр к прямой $AC$. Точку пересечения этого перпендикуляра с построенной полуокружностью обозначим $D$.

6. Длина отрезка $BD$ по свойству высоты в прямоугольном треугольнике, проведенной к гипотенузе, равна среднему геометрическому отрезков $AB$ и $BC$. Таким образом, $BD = \sqrt{AB \cdot BC} = \sqrt{r \cdot \frac{r}{2}}$. Это и есть искомый радиус $R_{иск}$.

7. Используя циркуль, строим окружность с любым центром и радиусом, равным длине отрезка $BD$.

Ответ: Радиус искомой окружности является средним геометрическим между радиусом данного полукруга $r$ и его половиной $\frac{r}{2}$. Построив этот отрезок, строим искомую окружность.

в) площади данного кругового сектора, ограниченного дугой в 60°;

Пусть дан круговой сектор радиуса $r$, ограниченный дугой в $60^\circ$. Его площадь составляет $\frac{60}{360} = \frac{1}{6}$ от площади всего круга радиуса $r$: $S_{сектора} = \frac{1}{6}\pi r^2$.

Пусть искомая окружность имеет радиус $R_{иск}$. Ее площадь $S_{иск} = \pi R_{иск}^2$.

Из условия $S_{иск} = S_{сектора}$ имеем: $\pi R_{иск}^2 = \frac{1}{6}\pi r^2$, откуда $R_{иск}^2 = \frac{r^2}{6} = r \cdot \frac{r}{6}$.

Следовательно, искомый радиус $R_{иск} = \sqrt{r \cdot \frac{r}{6}}$ является средним геометрическим отрезков длиной $r$ и $\frac{r}{6}$.

Построение:

1. Возьмем отрезок, равный радиусу $r$ данного сектора.

2. Построим отрезок длиной $\frac{r}{6}$. Для этого нужно разделить отрезок $r$ на 6 равных частей. Это можно сделать с помощью теоремы Фалеса:

а) Из одного конца отрезка $r$ (точка $A$) проведем произвольный луч.

б) На этом луче от точки $A$ отложим циркулем шесть равных отрезков произвольной длины.

Обозначим концы отрезков $P_1, P_2, \dots, P_6$.

в) Соединим точку $P_6$ с другим концом исходного отрезка (точка $B$).

г) Через точку $P_1$ проведем прямую, параллельную отрезку $P_6B$. Эта прямая пересечет отрезок $AB$ в точке $B_1$. Отрезок $AB_1$ будет иметь длину $\frac{r}{6}$.

3. Теперь построим среднее геометрическое отрезков $r$ и $\frac{r}{6}$ аналогично пункту б):

а) На произвольной прямой отложим последовательно отрезки $CD$ длиной $r$ и $DE$ длиной $\frac{r}{6}$.

б) Построим полуокружность на отрезке $CE$ как на диаметре.

в) В точке $D$ восстановим перпендикуляр к прямой $CE$ до пересечения с полуокружностью в точке $F$.

4. Длина отрезка $DF$ равна искомому радиусу $R_{иск} = \sqrt{CD \cdot DE} = \sqrt{r \cdot \frac{r}{6}}$.

5. Используя циркуль, строим окружность с любым центром и радиусом, равным длине отрезка $DF$.

Ответ: Радиус искомой окружности является средним геометрическим между радиусом данного сектора $r$ и отрезком длиной $\frac{r}{6}$. Построив этот отрезок, строим искомую окружность.