Номер 1294, страница 333 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 13 - номер 1294, страница 333.

Условие.

1294 Докажите, что две трапеции равны, если основания и боковые стороны одной трапеции соответственно равны основаниям и боковым сторонам другой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Дано:

Две трапеции $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$.

$AD$ и $BC$ — основания трапеции $ABCD$ ($AD || BC$).

$A_1D_1$ и $B_1C_1$ — основания трапеции $A_1B_1C_1D_1$ ($A_1D_1 || B_1C_1$).

Основания соответственно равны: $AD = A_1D_1$, $BC = B_1C_1$.

Боковые стороны соответственно равны: $AB = A_1B_1$, $CD = C_1D_1$.

Доказать:

Трапеция $ABCD$ равна трапеции $A_1B_1C_1D_1$.

Доказательство:

1. Рассмотрим трапецию $ABCD$. Проведем из вершины $C$ прямую $CE$, параллельную боковой стороне $AB$, до пересечения с основанием $AD$ в точке $E$.

2. Полученный четырехугольник $ABCE$ является параллелограммом, так как $BC || AE$ (поскольку $BC || AD$) и $AB || CE$ (по построению). Из свойств параллелограмма следует, что его противоположные стороны равны: $CE = AB$ и $AE = BC$.

3. Рассмотрим треугольник $\triangle CED$. Его стороны равны: $CE = AB$, $CD$ (по условию), $ED = AD - AE = AD - BC$.

4. Аналогичные построения выполним в трапеции $A_1B_1C_1D_1$. Проведем из вершины $C_1$ прямую $C_1E_1$, параллельную боковой стороне $A_1B_1$, до пересечения с основанием $A_1D_1$ в точке $E_1$.

5. Четырехугольник $A_1B_1C_1E_1$ является параллелограммом. Следовательно, $C_1E_1 = A_1B_1$ и $A_1E_1 = B_1C_1$.

6. Рассмотрим треугольник $\triangle C_1E_1D_1$. Его стороны равны: $C_1E_1 = A_1B_1$, $C_1D_1$ (по условию), $E_1D_1 = A_1D_1 - A_1E_1 = A_1D_1 - B_1C_1$.

7. Сравним треугольники $\triangle CED$ и $\triangle C_1E_1D_1$. У них:

• $CE = AB$ и $C_1E_1 = A_1B_1$. Так как по условию $AB = A_1B_1$, то $CE = C_1E_1$.
• $CD = C_1D_1$ (по условию).
• $ED = AD - BC$ и $E_1D_1 = A_1D_1 - B_1C_1$. Так как по условию $AD = A_1D_1$ и $BC = B_1C_1$, то $ED = E_1D_1$.

Следовательно, $\triangle CED \cong \triangle C_1E_1D_1$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

8. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle D = \angle D_1$ и $\angle CED = \angle C_1E_1D_1$.

9. Найдем остальные углы трапеций.

Поскольку $AB || CE$, углы $\angle A$ и $\angle CED$ являются соответственными при параллельных прямых $AB$, $CE$ и секущей $AD$. Значит, $\angle A = \angle CED$.

Аналогично, $\angle A_1 = \angle C_1E_1D_1$.

Так как $\angle CED = \angle C_1E_1D_1$, то и $\angle A = \angle A_1$.

10. Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, в сумме дают $180^\circ$.

$\angle B = 180^\circ - \angle A$

$\angle B_1 = 180^\circ - \angle A_1$

Поскольку $\angle A = \angle A_1$, то $\angle B = \angle B_1$.

Аналогично:

$\angle BCD = 180^\circ - \angle D$

$\angle B_1C_1D_1 = 180^\circ - \angle D_1$

Поскольку $\angle D = \angle D_1$, то $\angle BCD = \angle B_1C_1D_1$.

11. Таким образом, в трапециях $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ соответственно равны все четыре стороны и все четыре угла. Следовательно, эти трапеции равны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если основания и боковые стороны одной трапеции соответственно равны основаниям и боковым сторонам другой, то такие трапеции равны.