Номер 1297, страница 334 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 13 - номер 1297, страница 334.

Условие.

1297 ☐ Даны две окружности и прямая. Постройте правильный треугольник так, чтобы две вершины лежали соответственно на данных окружностях, а высота, проведённая из третьей вершины, — на данной прямой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения этой задачи на построение воспользуемся методом геометрических преобразований, а именно осевой симметрией (отражением относительно прямой).

Анализ

Пусть $\triangle ABC$ — искомый правильный треугольник, у которого вершина $A$ лежит на первой окружности ($\omega_1$), вершина $B$ — на второй окружности ($\omega_2$), а высота, проведённая из вершины $C$, лежит на данной прямой $l$.

Обозначим высоту из вершины $C$ как $CH$, где $H$ — основание высоты на стороне $AB$. По условию, прямая, содержащая $CH$, есть прямая $l$.

В правильном (равностороннем) треугольнике высота, проведённая к стороне, является также её медианой и серединным перпендикуляром. Следовательно, прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

Это означает, что точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $l$. То есть, если мы отразим точку $A$ относительно прямой $l$, мы получим точку $B$, и наоборот. Обозначим операцию отражения относительно прямой $l$ как $S_l$. Тогда $B = S_l(A)$.

Нам дано, что $A \in \omega_1$ и $B \in \omega_2$.

Применим отражение $S_l$ к условию $A \in \omega_1$. Получим $S_l(A) \in S_l(\omega_1)$.

Поскольку $B = S_l(A)$, то точка $B$ должна лежать на окружности $S_l(\omega_1)$, которую мы обозначим как $\omega'_1$. Окружность $\omega'_1$ — это образ окружности $\omega_1$ при симметрии относительно прямой $l$.

Таким образом, вершина $B$ искомого треугольника должна удовлетворять двум условиям:

1. $B$ должна лежать на данной окружности $\omega_2$.
2. $B$ должна лежать на построенной окружности $\omega'_1$.

Следовательно, точка $B$ является точкой пересечения окружностей $\omega_2$ и $\omega'_1$. Найдя точку $B$, мы можем найти точку $A$ как её отражение относительно $l$, а затем построить и сам равносторонний треугольник.

Построение

1. Пусть даны окружности $\omega_1$ (с центром $O_1$ и радиусом $R_1$), $\omega_2$ (с центром $O_2$ и радиусом $R_2$) и прямая $l$.
2. Построим окружность $\omega'_1$, симметричную окружности $\omega_1$ относительно прямой $l$. Для этого:
   a) Построим точку $O'_1$, симметричную центру $O_1$ относительно прямой $l$. (Опускаем перпендикуляр из $O_1$ на $l$ и откладываем на его продолжении отрезок, равный расстоянию от $O_1$ до $l$).
   b) Проведём окружность $\omega'_1$ с центром в точке $O'_1$ и радиусом $R_1$.
3. Найдём точки пересечения окружности $\omega_2$ и построенной окружности $\omega'_1$. Пусть $B$ — одна из таких точек. (Если точек пересечения нет, то задача не имеет решений).
4. Точка $B$ является одной из вершин искомого треугольника. По построению, $B$ лежит на окружности $\omega_2$.
5. Построим вторую вершину $A$, симметричную точке $B$ относительно прямой $l$. Так как $B \in \omega'_1$, то её прообраз $A=S_l(B)$ будет лежать на окружности $\omega_1$.
6. Теперь у нас есть сторона $AB$ искомого треугольника. Третья вершина $C$ должна лежать на прямой $l$ (так как $l$ — серединный перпендикуляр к $AB$) и образовывать с точками $A$ и $B$ равносторонний треугольник.
7. Для нахождения вершины $C$ построим две окружности: одну с центром в $A$ и радиусом $|AB|$, другую с центром в $B$ и радиусом $|AB|$. Точки их пересечения ($C_1$ и $C_2$) будут являться возможными положениями третьей вершины. Обе эти точки будут лежать на прямой $l$.
8. Треугольники $\triangle ABC_1$ и $\triangle ABC_2$ являются искомыми.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $\triangle ABC$ (например, $\triangle ABC_1$) удовлетворяет всем условиям задачи.

1. Вершина $B$ лежит на окружности $\omega_2$, так как она была найдена как точка пересечения $\omega_2$ и $\omega'_1$.
2. Вершина $A$ лежит на окружности $\omega_1$. Точка $A$ была построена как $S_l(B)$. Так как $B \in \omega'_1 = S_l(\omega_1)$, то её прообраз при симметрии $S_l$ должен лежать на $\omega_1$, то есть $A \in \omega_1$.
3. $\triangle ABC$ является правильным. По построению (шаг 7), $|AC| = |AB|$ и $|BC| = |AB|$, следовательно, $\triangle ABC$ — равносторонний.
4. Высота из вершины $C$ лежит на прямой $l$. Так как $A$ и $B$ симметричны относительно $l$, то $l$ — серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. В равностороннем треугольнике серединный перпендикуляр к стороне проходит через противоположную вершину и совпадает с высотой, проведённой из этой вершины. Значит, высота из $C$ лежит на прямой $l$.

Все условия задачи выполнены.

Исследование

Число решений задачи зависит от количества точек пересечения окружностей $\omega_2$ и $\omega'_1$. Пусть $d = |O_2O'_1|$ — расстояние между их центрами, а $R_1$ и $R_2$ — их радиусы.

• Если окружности $\omega_2$ и $\omega'_1$ не пересекаются (т.е. $d > R_1 + R_2$ или $d < |R_1 - R_2|$), то точек $B$ не существует, и задача не имеет решений.
• Если окружности $\omega_2$ и $\omega'_1$ касаются в одной точке (т.е. $d = R_1 + R_2$ или $d = |R_1 - R_2|$), то существует одна точка $B$. Для этой точки мы находим соответствующую точку $A = S_l(B)$. Если $A \ne B$ (то есть точка касания $B$ не лежит на прямой $l$), то на отрезке $AB$ можно построить два правильных треугольника. В этом случае задача имеет 2 решения. Если $A = B$ (точка касания лежит на $l$), то не существует невырожденного треугольника, и решений нет.
• Если окружности $\omega_2$ и $\omega'_1$ пересекаются в двух точках $B_1$ и $B_2$ (т.е. $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2|$), то мы получаем две пары вершин: $(A_1, B_1)$ и $(A_2, B_2)$. Каждая пара, если $A_i \ne B_i$, позволяет построить два правильных треугольника. Таким образом, в общем случае задача будет иметь 4 решения. Если одна из точек пересечения лежит на прямой $l$, то она дает вырожденное решение, и общее число решений уменьшается до 2. Если обе точки лежат на $l$, решений нет.

В общем случае, если исключить вырожденные случаи, когда вершины совпадают, задача может иметь 0, 2 или 4 решения.

Ответ: Задача может иметь 0, 2 или 4 решения в зависимости от взаимного расположения данных окружностей и прямой. Алгоритм построения описан выше и основан на нахождении точек пересечения одной из данных окружностей с образом другой окружности, полученным в результате симметрии относительно данной прямой.