Номер 1292, страница 333 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 13 - номер 1292, страница 333.

Условие.

1292 Даны два равных отрезка $AB$ и $A_1B_1$. Докажите, что существуют два и только два движения, при которых точки $A$ и $B$ отображаются соответственно в точки $A_1$ и $B_1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Доказательство этого утверждения состоит из двух частей: доказательства существования как минимум двух таких движений и доказательства того, что их не может быть больше двух.

1. Доказательство существования

Мы можем построить два движения, которые переводят отрезок $AB$ в отрезок $A_1B_1$.

Движение 1 (сохраняющее ориентацию):

Это движение можно представить как композицию параллельного переноса и поворота.

Шаг 1: Параллельный перенос.

Выполним параллельный перенос на вектор $\vec{v} = \vec{AA_1}$. При этом переносе точка $A$ перейдет в точку $A_1$, а точка $B$ перейдет в некоторую точку $B'$. Так как параллельный перенос является движением, он сохраняет расстояния, поэтому $|AB| = |A_1B'|$. По условию задачи $|AB| = |A_1B_1|$, следовательно, $|A_1B'| = |A_1B_1|$. Это означает, что точки $B_1$ и $B'$ лежат на окружности с центром в точке $A_1$ и радиусом $|A_1B_1|$.

Шаг 2: Поворот.

Выполним поворот вокруг точки $A_1$ на угол $\alpha = \angle B'A_1B_1$. При этом повороте точка $A_1$ останется на месте, а точка $B'$ перейдет в точку $B_1$.

Таким образом, композиция параллельного переноса на вектор $\vec{AA_1}$ и последующего поворота вокруг точки $A_1$ на угол $\angle B'A_1B_1$ является движением, которое переводит точку $A$ в $A_1$ и точку $B$ в $B_1$. Назовем это движение $f_1$. Это движение первого рода (сохраняет ориентацию).

Движение 2 (меняющее ориентацию):

Это движение можно представить как композицию движения $f_1$ и осевой симметрии.

Рассмотрим осевую симметрию $S_l$ относительно прямой $l$, содержащей отрезок $A_1B_1$. Применим эту симметрию к результату первого движения $f_1$. Получим новое движение $f_2 = S_l \circ f_1$.

Проверим, куда переходят точки $A$ и $B$ при движении $f_2$:

$f_2(A) = S_l(f_1(A)) = S_l(A_1)$. Так как точка $A_1$ лежит на оси симметрии $l$, она остается неподвижной: $S_l(A_1) = A_1$.

$f_2(B) = S_l(f_1(B)) = S_l(B_1)$. Так как точка $B_1$ лежит на оси симметрии $l$, она также остается неподвижной: $S_l(B_1) = B_1$.

Таким образом, движение $f_2$ также переводит точку $A$ в $A_1$ и точку $B$ в $B_1$. Движение $f_1$ является движением первого рода (сохраняет ориентацию), а $f_2$ (как композиция движения первого рода и одной осевой симметрии) является движением второго рода (меняет ориентацию). Следовательно, $f_1$ и $f_2$ — это два различных движения.

Мы доказали существование как минимум двух таких движений.

2. Доказательство единственности (что их не более двух)

Любое движение на плоскости однозначно определяется образами трех точек, не лежащих на одной прямой.

Пусть $g$ — произвольное движение, такое что $g(A) = A_1$ и $g(B) = B_1$. Возьмем любую точку $C$, не лежащую на прямой $AB$. Пусть ее образ при движении $g$ есть точка $C'$, то есть $g(C) = C'$.

По определению движения (сохранение расстояний), должны выполняться равенства:

$|AC| = |g(A)g(C)| = |A_1C'|$

$|BC| = |g(B)g(C)| = |B_1C'|$

Это означает, что точка $C'$ является точкой пересечения двух окружностей:

• окружности $O_1$ с центром в $A_1$ и радиусом $r_1 = |AC|$;
• окружности $O_2$ с центром в $B_1$ и радиусом $r_2 = |BC|$.

Так как точки $A, B, C$ не лежат на одной прямой, для них выполняется неравенство треугольника: $|AC| + |BC| > |AB|$ и $| |AC| - |BC| | < |AB|$. Поскольку движение сохраняет расстояния, $|A_1B_1|=|AB|$, $r_1=|A_1C'|$, $r_2=|B_1C'|$, то и для точек $A_1, B_1, C'$ будет выполняться неравенство треугольника, а значит, они также не будут лежать на одной прямой. Это означает, что окружности $O_1$ и $O_2$ пересекаются в двух различных точках. Обозначим их $C'_1$ и $C'_2$. Эти две точки симметричны относительно прямой $A_1B_1$.

Следовательно, для образа точки $C$ есть только две возможности: $g(C) = C'_1$ или $g(C) = C'_2$.

Поскольку движение однозначно определяется образами трех неколлинеарных точек ($A, B, C$), то существует ровно два движения, переводящих $A$ в $A_1$ и $B$ в $B_1$:

1. Одно движение, которое переводит $A \to A_1$, $B \to B_1$ и $C \to C'_1$.
2. Второе движение, которое переводит $A \to A_1$, $B \to B_1$ и $C \to C'_2$.

Никаких других движений, удовлетворяющих условию, быть не может.

Таким образом, мы доказали, что существует ровно два движения, при которых точки $A$ и $B$ отображаются соответственно в точки $A_1$ и $B_1$.

Ответ: Утверждение доказано. Существование двух движений показано их построением (одно сохраняет ориентацию, другое — нет). Единственность следует из того, что положение любой третьей точки определяется с точностью до двух вариантов, что и задает два возможных движения.