Номер 1295, страница 333 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 13 - номер 1295, страница 333.

Условие.

1295 Докажите, что два треугольника равны, если две неравные стороны и разность противолежащих им углов одного треугольника соответственно равны двум сторонам и разности противолежащих им углов другого.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Пусть $a, b, c$ — стороны $\triangle ABC$, лежащие против углов $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно. Пусть $a_1, b_1, c_1$ — стороны $\triangle A_1B_1C_1$, лежащие против углов $\alpha_1, \beta_1, \gamma_1$ соответственно.

По условию задачи дано:
1. Две неравные стороны одного треугольника равны двум сторонам другого. Без ограничения общности, пусть $a = a_1$ и $b = b_1$, причем $a \neq b$.
2. Разность противолежащих им углов равна. Так как $a \neq b$, то и противолежащие углы не равны. Пусть $a > b$, тогда $\alpha > \beta$. Аналогично $a_1 > b_1$ и $\alpha_1 > \beta_1$. Условие записывается как $\alpha - \beta = \alpha_1 - \beta_1$.

Применим теорему синусов к обоим треугольникам.
Для $\triangle ABC$: $\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}$, откуда $\frac{a}{b} = \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}$.
Для $\triangle A_1B_1C_1$: $\frac{a_1}{\sin\alpha_1} = \frac{b_1}{\sin\beta_1}$, откуда $\frac{a_1}{b_1} = \frac{\sin\alpha_1}{\sin\beta_1}$.

Поскольку $a = a_1$ и $b = b_1$, то $\frac{a}{b} = \frac{a_1}{b_1}$. Следовательно, правые части выражений также равны:$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{\sin\alpha_1}{\sin\beta_1}$

Обозначим равную разность углов через $\delta$: $\delta = \alpha - \beta = \alpha_1 - \beta_1$. Отсюда $\alpha = \beta + \delta$ и $\alpha_1 = \beta_1 + \delta$. Подставим эти выражения в равенство выше:$\frac{\sin(\beta + \delta)}{\sin\beta} = \frac{\sin(\beta_1 + \delta)}{\sin\beta_1}$

Используем формулу синуса суммы $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$:$\frac{\sin\beta \cos\delta + \cos\beta \sin\delta}{\sin\beta} = \frac{\sin\beta_1 \cos\delta + \cos\beta_1 \sin\delta}{\sin\beta_1}$

Разделив почленно числители на знаменатели, получим:$\cos\delta + \frac{\cos\beta}{\sin\beta}\sin\delta = \cos\delta + \frac{\cos\beta_1}{\sin\beta_1}\sin\delta$$\cos\delta + \cot\beta \sin\delta = \cos\delta + \cot\beta_1 \sin\delta$

Вычитая $\cos\delta$ из обеих частей, получаем:$\cot\beta \sin\delta = \cot\beta_1 \sin\delta$$(\cot\beta - \cot\beta_1)\sin\delta = 0$

Это равенство выполняется в двух случаях:
1. $\sin\delta = 0$. Это означает, что $\delta=0$ (так как $\delta = \alpha - \beta$ и $|\delta| < \pi$). Если $\delta=0$, то $\alpha - \beta = 0$, то есть $\alpha = \beta$. В этом случае треугольник $ABC$ равнобедренный, и $a=b$. Но это противоречит условию, что стороны неравны ($a \neq b$). Следовательно, этот случай невозможен.
2. $\cot\beta - \cot\beta_1 = 0$. Отсюда $\cot\beta = \cot\beta_1$. Поскольку $\beta$ и $\beta_1$ являются углами треугольника, они лежат в интервале $(0, \pi)$. На этом интервале функция котангенса монотонно убывает, а значит, каждому значению функции соответствует единственное значение аргумента. Таким образом, из $\cot\beta = \cot\beta_1$ следует, что $\beta = \beta_1$.

Теперь, когда мы доказали, что $\beta = \beta_1$, вернемся к условию $\alpha - \beta = \alpha_1 - \beta_1$. Подставив $\beta = \beta_1$, получаем:$\alpha - \beta_1 = \alpha_1 - \beta_1$, откуда $\alpha = \alpha_1$.

Мы установили, что два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого ($\alpha=\alpha_1$, $\beta=\beta_1$). Это означает, что и третьи углы равны:$\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - (\alpha_1 + \beta_1) = \gamma_1$.

Итак, мы имеем два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых:
- $a = a_1$ (по условию)
- $b = b_1$ (по условию)
- $\gamma = \gamma_1$ (угол между этими сторонами, как мы доказали)
Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.