Номер 1301, страница 334 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 13 - номер 1301, страница 334.

Условие.

1301 Постройте трапецию, стороны которой соответственно равны данным отрезкам.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть даны четыре отрезка с длинами $a, b, c, d$. Требуется построить трапецию, стороны которой равны этим отрезкам. Для построения необходимо определиться, какие из сторон будут основаниями (параллельными сторонами), а какие — боковыми. Пусть стороны с длинами $a$ и $c$ будут основаниями, а стороны с длинами $b$ и $d$ — боковыми сторонами. Для определённости будем считать, что $a$ — большее основание, то есть $a > c$. Случай $c > a$ строится аналогично.

Анализ

Предположим, что искомая трапеция $ABCD$ построена. Пусть $AD$ и $BC$ — её основания, где $AD = a$ и $BC = c$. Боковые стороны — $AB = b$ и $CD = d$. Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную боковой стороне $AB$, и пусть она пересекает основание $AD$ в точке $K$.

Полученный четырёхугольник $ABCK$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно параллельны ($BC \parallel AD$ по определению трапеции, и $AB \parallel CK$ по построению). Из свойств параллелограмма следует, что $CK = AB = b$ и $AK = BC = c$.

Теперь рассмотрим треугольник $KCD$. Длины всех его сторон известны: $CK = b$, $CD = d$ и $KD = AD - AK = a - c$.

Таким образом, задача сводится к построению треугольника $KCD$ по трём известным сторонам, а затем — к достроению этого треугольника до искомой трапеции.

Построение

1. На произвольной прямой $l$ выбираем точку $A$ и откладываем на ней отрезок $AD$, длина которого равна $a$.

2. На отрезке $AD$ от точки $A$ откладываем отрезок $AK$, длина которого равна $c$. Так как мы предположили, что $a > c$, точка $K$ будет лежать между точками $A$ и $D$. Длина отрезка $KD$ будет равна $a - c$.

3. Строим треугольник $KCD$ по трём сторонам: $KD = a - c$, $CD = d$ и $CK = b$. Для этого:

а) Из точки $D$ как из центра проводим дугу окружности радиусом $d$.

б) Из точки $K$ как из центра проводим дугу окружности радиусом $b$.

в) Точка $C$ является одной из точек пересечения этих дуг.

4. Строим точку $B$, которая является четвёртой вершиной параллелограмма $ABCK$. Для этого можно провести через точку $C$ прямую, параллельную $AD$, а через точку $A$ — прямую, параллельную $CK$. Точка их пересечения и будет вершиной $B$. Также можно просто отложить отрезок $CB$ длиной $c$, параллельный $AK$.

5. Соединяем последовательно точки $A, B, C, D$. Четырёхугольник $ABCD$ — искомая трапеция.

Доказательство

Построенный четырёхугольник $ABCD$ является трапецией, так как по построению (шаг 4) сторона $BC$ параллельна стороне $AD$.

Проверим длины его сторон:

- $AD = a$ по построению (шаг 1).

- $CD = d$ по построению (шаг 3), так как это сторона треугольника $KCD$.

- $BC = AK = c$, так как $ABCK$ — параллелограмм по построению (шаг 4).

- $AB = CK = b$, так как $ABCK$ — параллелограмм по построению (шаг 4), а $CK=b$ по построению треугольника $KCD$ (шаг 3).

Следовательно, построенный четырёхугольник $ABCD$ является трапецией, стороны которой равны заданным отрезкам $a, b, c, d$.

Исследование

Построение возможно тогда и только тогда, когда возможно выполнить шаг 3, то есть построить треугольник $KCD$ со сторонами $b, d, |a - c|$.

Треугольник можно построить только в том случае, если для длин его сторон выполняется неравенство треугольника. Таким образом, задача имеет решение, если выполняются одновременно три условия:

$b + d > |a - c|$

$b + |a - c| > d$

$d + |a - c| > b$

Если эти условия не выполняются, то трапецию с заданными длинами сторон (где $a$ и $c$ — основания, а $b$ и $d$ — боковые стороны) построить невозможно.

Если же условия выполнены, то дуги окружностей в шаге 3 пересекутся в двух точках (симметричных относительно прямой $AD$). Это означает, что задача имеет два решения — две трапеции, являющиеся зеркальными отражениями друг друга.

Ответ: Алгоритм построения трапеции подробно описан в разделе Построение. Построение возможно, если длины боковых сторон ($b$ и $d$) и модуль разности длин оснований ($|a-c|$) удовлетворяют неравенствам треугольника.