Номер 1299, страница 334 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 13 - номер 1299, страница 334.

Условие.

1299 Даны две пересекающиеся окружности. Постройте отрезок, концы которого лежат соответственно на данных окружностях, а его середина совпадает с одной из точек пересечения данных окружностей.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть даны две пересекающиеся окружности $\omega_1$ с центром в точке $O_1$ и радиусом $R_1$, и $\omega_2$ с центром в точке $O_2$ и радиусом $R_2$. Пусть $M$ — одна из точек их пересечения.

Требуется построить отрезок $AB$ такой, что точка $A$ лежит на $\omega_1$, точка $B$ — на $\omega_2$, и точка $M$ является его серединой.

Анализ

Предположим, что искомый отрезок $AB$ построен. По условию, точка $M$ — середина отрезка $AB$. Это означает, что точка $A$ является образом точки $B$ при центральной симметрии относительно точки $M$, и наоборот, точка $B$ является образом точки $A$ при той же симметрии. Обозначим эту симметрию $S_M$.

Поскольку точка $A$ принадлежит окружности $\omega_1$, то ее образ, точка $B = S_M(A)$, должна принадлежать образу окружности $\omega_1$ при симметрии $S_M$. Обозначим этот образ $\omega'_1$.

Образом окружности при центральной симметрии является окружность с тем же радиусом. Центром новой окружности $\omega'_1$ будет точка $O'_1$, симметричная центру $O_1$ исходной окружности относительно точки $M$.

Таким образом, точка $B$ должна одновременно удовлетворять двум условиям:

1. Точка $B$ лежит на окружности $\omega_2$ (по условию задачи).
2. Точка $B$ лежит на окружности $\omega'_1$ (поскольку она является образом точки $A$ с окружности $\omega_1$).

Следовательно, точка $B$ является точкой пересечения окружностей $\omega_2$ и $\omega'_1$. Это рассуждение позволяет сформулировать алгоритм построения.

Построение

1. Выберем одну из точек пересечения данных окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$. Назовем ее $M$.
2. Построим точку $O'_1$, симметричную центру $O_1$ окружности $\omega_1$ относительно точки $M$. Для этого проведем луч $O_1M$ и отложим на нем от точки $M$ отрезок $MO'_1$, равный отрезку $O_1M$.
3. Построим окружность $\omega'_1$ с центром в точке $O'_1$ и радиусом $R_1$ (равным радиусу окружности $\omega_1$).
4. Найдем точку пересечения построенной окружности $\omega'_1$ и данной окружности $\omega_2$. Обозначим одну из таких точек (если они существуют) буквой $B$.
5. Построим точку $A$, симметричную точке $B$ относительно точки $M$. Для этого проведем луч $BM$ и отложим на нем от точки $M$ отрезок $MA$, равный отрезку $BM$.
6. Соединим точки $A$ и $B$. Отрезок $AB$ — искомый.

Доказательство

По нашему построению:

• Точка $M$ является серединой отрезка $AB$ (по шагу 5).
• Точка $B$ лежит на окружности $\omega_2$ (по шагу 4).
• Точка $B$ лежит на окружности $\omega'_1$ (по шагу 4). Окружность $\omega'_1$ является образом окружности $\omega_1$ при симметрии $S_M$. Так как $A$ является образом $B$ при той же симметрии ($A = S_M(B)$), а симметрия является взаимно-однозначным отображением, то точка $A$ должна лежать на прообразе окружности $\omega'_1$, то есть на окружности $\omega_1$.

Таким образом, построенный отрезок $AB$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Искомый отрезок строится по вышеописанному алгоритму. Сначала строится окружность, симметричная одной из данных окружностей относительно точки их пересечения. Затем находится точка пересечения этой новой окружности и второй данной окружности — это будет один конец искомого отрезка. Второй конец отрезка строится симметрично первому относительно точки пересечения данных окружностей.