Номер 1293, страница 333 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 13 - номер 1293, страница 333.

Условие.

1293 Докажите, что два параллелограмма равны, если диагонали и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны диагоналям и углу между ними другого.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть даны два параллелограмма, $ABCD$ и $A'B'C'D'$. Пусть диагонали $AC$ и $BD$ первого параллелограмма пересекаются в точке $O$, а диагонали $A'C'$ и $B'D'$ второго — в точке $O'$.

По условию задачи, диагонали одного параллелограмма равны диагоналям другого, то есть $AC = A'C'$ и $BD = B'D'$, и углы между диагоналями также равны: $\angle AOB = \angle A'O'B'$.

Согласно основному свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Отсюда следует:

$AO = OC = \frac{1}{2}AC$

$BO = OD = \frac{1}{2}BD$

$A'O' = O'C' = \frac{1}{2}A'C'$

$B'O' = O'D' = \frac{1}{2}B'D'$

Так как по условию $AC = A'C'$ и $BD = B'D'$, то и половины этих диагоналей соответственно равны:

$AO = A'O'$ и $BO = B'O'$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A'O'B'$. В этих треугольниках: сторона $AO$ равна стороне $A'O'$, сторона $BO$ равна стороне $B'O'$, и угол между этими сторонами $\angle AOB$ равен углу $\angle A'O'B'$. Таким образом, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle AOB \cong \triangle A'O'B'$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = A'B'$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle B'O'C'$. Угол $\angle BOC$ является смежным с углом $\angle AOB$, поэтому $\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB$. Аналогично, $\angle B'O'C' = 180^\circ - \angle A'O'B'$. Так как $\angle AOB = \angle A'O'B'$, то и $\angle BOC = \angle B'O'C'$.

В треугольниках $\triangle BOC$ и $\triangle B'O'C'$ имеем: $BO = B'O'$, $OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}A'C' = O'C'$, и $\angle BOC = \angle B'O'C'$. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, $\triangle BOC \cong \triangle B'O'C'$. Отсюда получаем, что $BC = B'C'$.

Мы доказали, что смежные стороны одного параллелограмма соответственно равны смежным сторонам другого: $AB = A'B'$ и $BC = B'C'$.

Сравним треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$. В них стороны $AB$, $BC$, $AC$ первого треугольника соответственно равны сторонам $A'B'$, $B'C'$, $A'C'$ второго ($AB=A'B'$, $BC=B'C'$ по доказанному, и $AC=A'C'$ по условию). По третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$.

Из конгруэнтности этих треугольников следует равенство их соответствующих углов, в частности $\angle ABC = \angle A'B'C'$.

Таким образом, два параллелограмма, $ABCD$ и $A'B'C'D'$, имеют соответственно равные смежные стороны ($AB = A'B'$, $BC = B'C'$) и равный угол между ними ($\angle ABC = \angle A'B'C'$). Это является достаточным условием равенства (конгруэнтности) параллелограммов.

Следовательно, параллелограмм $ABCD$ равен параллелограмму $A'B'C'D'$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.