Номер 1287, страница 333 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 12 - номер 1287, страница 333.

Условие.

1287 Пусть $ABCD$ — квадрат, а $A_1B_1C_1$ — правильный треугольник, вписанные в окружность радиуса $R$. Докажите, что сумма $AB + A_1B_1$ равна длине полуокружности с точностью до $0,01R$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения задачи найдем длины сторон квадрата и правильного треугольника, вписанных в окружность радиуса $R$, а затем сравним их сумму с длиной полуокружности того же радиуса.

1. Длина стороны вписанного квадрата
Длину стороны $a_n$ правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$, можно найти по формуле $a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$. Для квадрата $ABCD$ имеем $n=4$. Длина его стороны $AB$ равна: $AB = a_4 = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{4}\right) = 2R \sin(45^\circ) = 2R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = R\sqrt{2}$.

2. Длина стороны вписанного правильного треугольника
Для правильного треугольника $A_1B_1C_1$ имеем $n=3$. Длина его стороны $A_1B_1$ равна: $A_1B_1 = a_3 = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 2R \sin(60^\circ) = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$.

3. Сумма длин сторон и сравнение с длиной полуокружности
Сумма длин сторон $AB$ и $A_1B_1$ составляет: $S = AB + A_1B_1 = R\sqrt{2} + R\sqrt{3} = R(\sqrt{2} + \sqrt{3})$.

Длина полуокружности радиуса $R$ равна $L = \pi R$.

Нам нужно доказать, что $|S - L| \le 0,01R$. Подставим выражения для $S$ и $L$: $|R(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \pi R| \le 0,01R$.

Поскольку $R > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на $R$: $|\sqrt{2} + \sqrt{3} - \pi| \le 0,01$.

Теперь воспользуемся приближенными значениями для иррациональных чисел: $\sqrt{2} \approx 1,4142$ $\sqrt{3} \approx 1,7321$ $\pi \approx 3,1416$

Вычислим сумму и разность: $\sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 1,4142 + 1,7321 = 3,1463$. $|\sqrt{2} + \sqrt{3} - \pi| \approx |3,1463 - 3,1416| = 0,0047$.

Сравниваем полученный результат с требуемой точностью: $0,0047 \le 0,01$.

Неравенство выполняется, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Абсолютная разница между суммой $AB + A_1B_1$ и длиной полуокружности $\pi R$ составляет $|R(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \pi R| \approx 0,0047R$, что меньше, чем $0,01R$.