Номер 1286, страница 333 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 12 - номер 1286, страница 333.

Условие.

1286 Углы треугольника образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Докажите, что середины сторон и основания высот этого треугольника являются шестью вершинами правильного семиугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения задачи выполним следующие шаги: сначала найдем углы треугольника, затем покажем, что его вершины можно совместить с вершинами правильного семиугольника, и, наконец, с помощью комплексных чисел докажем требуемое утверждение.

1. Нахождение углов треугольника

Пусть углы треугольника равны $ \alpha $, $ \beta $ и $ \gamma $. По условию, они образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $ q=2 $. Пусть $ \alpha $ — наименьший угол. Тогда $ \beta = 2\alpha $ и $ \gamma = 4\alpha $.

Сумма углов в треугольнике равна $ 180^\circ $ или $ \pi $ радиан. Составим уравнение:

$ \alpha + 2\alpha + 4\alpha = \pi $

$ 7\alpha = \pi $

$ \alpha = \frac{\pi}{7} $

Таким образом, углы треугольника равны:

$ \alpha = \frac{\pi}{7} $, $ \beta = \frac{2\pi}{7} $, $ \gamma = \frac{4\pi}{7} $.

2. Связь треугольника с правильным семиугольником

Рассмотрим правильный семиугольник, вписанный в окружность. Угловая мера дуги между двумя соседними вершинами составляет $ \frac{2\pi}{7} $. Вписанный угол, опирающийся на дугу, содержащую $ k $ сторон семиугольника, равен $ \frac{1}{2} \cdot k \cdot \frac{2\pi}{7} = \frac{k\pi}{7} $.

Мы можем выбрать три вершины правильного семиугольника $ P_0, P_1, \dots, P_6 $ так, чтобы они образовали треугольник с нашими углами. Пусть вершины треугольника $ A, B, C $ соответствуют вершинам семиугольника $ P_0, P_4, P_5 $.

• Угол $ A $ (в вершине $ P_0 $) опирается на дугу $ P_4P_5 $, которая является одной стороной семиугольника ($k=1$). Его величина равна $ \frac{1\pi}{7} = \frac{\pi}{7} $.
• Угол $ B $ (в вершине $ P_4 $) опирается на дугу $ P_5P_0 $, которая стягивает две стороны ($ P_5 \to P_6 \to P_0 $, $k=2$). Его величина равна $ \frac{2\pi}{7} $.
• Угол $ C $ (в вершине $ P_5 $) опирается на дугу $ P_0P_4 $, которая стягивает четыре стороны ($ P_0 \to P_1 \to P_2 \to P_3 \to P_4 $, $k=4$). Его величина равна $ \frac{4\pi}{7} $.

Таким образом, данный в условии треугольник $ ABC $ можно получить, соединив вершины $ P_0, P_4, P_5 $ правильного семиугольника, вписанного в окружность.

3. Доказательство с помощью комплексной плоскости

Расположим описанную окружность треугольника $ ABC $ в центре комплексной плоскости, приняв её радиус за 1. Тогда вершины правильного семиугольника можно представить как комплексные числа $ P_k = \omega^k $, где $ \omega = e^{i\frac{2\pi}{7}} $ и $ k = 0, 1, \dots, 6 $.

Пусть вершины нашего треугольника имеют координаты:

$ a = \omega^0 = 1 $

$ b = \omega^4 $

$ c = \omega^5 $

Найдем комплексные координаты шести интересующих нас точек: середин сторон $ M_a, M_b, M_c $ и оснований высот $ H_a, H_b, H_c $.

Известно, что эти шесть точек лежат на одной окружности — окружности девяти точек (окружности Эйлера). Центр этой окружности $ N $ находится в середине отрезка, соединяющего центр описанной окружности $ O $ (в нашем случае, $ o=0 $) и ортоцентр $ H $ ($ h = a+b+c $). Координата центра окружности девяти точек:

$ n = \frac{o+h}{2} = \frac{a+b+c}{2} = \frac{1+\omega^4+\omega^5}{2} $

Теперь найдем координаты шести точек:

Середины сторон:

$ M_a $ (середина $ BC $): $ m_a = \frac{b+c}{2} = \frac{\omega^4+\omega^5}{2} $

$ M_b $ (середина $ AC $): $ m_b = \frac{a+c}{2} = \frac{1+\omega^5}{2} $

$ M_c $ (середина $ AB $): $ m_c = \frac{a+b}{2} = \frac{1+\omega^4}{2} $

Основания высот:

Координаты оснований высот находятся по формуле $ H_a = (a+b+c - bc/a)/2 $ (и аналогично для других вершин).

$ H_a $: $ h_a = \frac{1}{2}(a+b+c - \frac{bc}{a}) = \frac{1}{2}(1+\omega^4+\omega^5 - \frac{\omega^4\omega^5}{1}) = \frac{1}{2}(1+\omega^4+\omega^5 - \omega^9) $. Так как $ \omega^7=1 $, то $ \omega^9 = \omega^2 $. $ h_a = \frac{1}{2}(1+\omega^4+\omega^5 - \omega^2) $.

$ H_b $: $ h_b = \frac{1}{2}(a+b+c - \frac{ac}{b}) = \frac{1}{2}(1+\omega^4+\omega^5 - \frac{1\cdot\omega^5}{\omega^4}) = \frac{1}{2}(1+\omega^4+\omega^5 - \omega) $.

$ H_c $: $ h_c = \frac{1}{2}(a+b+c - \frac{ab}{c}) = \frac{1}{2}(1+\omega^4+\omega^5 - \frac{1\cdot\omega^4}{\omega^5}) = \frac{1}{2}(1+\omega^4+\omega^5 - \omega^{-1}) $. Так как $ \omega^{-1} = \omega^6 $, то $ h_c = \frac{1}{2}(1+\omega^4+\omega^5 - \omega^6) $.

4. Анализ расположения точек

Рассмотрим положение этих шести точек относительно центра $ n $ их общей окружности. Для этого вычтем $ n $ из координат каждой точки:

$ m_a - n = \frac{\omega^4+\omega^5}{2} - \frac{1+\omega^4+\omega^5}{2} = -\frac{1}{2} = -\frac{1}{2}\omega^0 $

$ m_b - n = \frac{1+\omega^5}{2} - \frac{1+\omega^4+\omega^5}{2} = -\frac{\omega^4}{2} $

$ m_c - n = \frac{1+\omega^4}{2} - \frac{1+\omega^4+\omega^5}{2} = -\frac{\omega^5}{2} $

$ h_a - n = \frac{1+\omega^4+\omega^5 - \omega^2}{2} - \frac{1+\omega^4+\omega^5}{2} = -\frac{\omega^2}{2} $

$ h_b - n = \frac{1+\omega^4+\omega^5 - \omega}{2} - \frac{1+\omega^4+\omega^5}{2} = -\frac{\omega}{2} $

$ h_c - n = \frac{1+\omega^4+\omega^5 - \omega^6}{2} - \frac{1+\omega^4+\omega^5}{2} = -\frac{\omega^6}{2} $

Таким образом, радиус-векторы наших шести точек, проведенные из центра $ n $, равны:

$ -\frac{1}{2}\omega^0, -\frac{1}{2}\omega^1, -\frac{1}{2}\omega^2, -\frac{1}{2}\omega^4, -\frac{1}{2}\omega^5, -\frac{1}{2}\omega^6 $

Множество из семи векторов $ \{-\frac{1}{2}\omega^k \mid k=0,1,\dots,6\} $ задает вершины правильного семиугольника, который получается из исходного семиугольника $ \{ \omega^k \} $ поворотом на $ \pi $ и сжатием в 2 раза.

Наши шесть точек соответствуют шести из семи вершин этого нового правильного семиугольника (отсутствует вершина, соответствующая $ k=3 $). Следовательно, середины сторон и основания высот исходного треугольника являются шестью вершинами правильного семиугольника.

Ответ: Утверждение доказано. Углы треугольника равны $ \pi/7, 2\pi/7, 4\pi/7 $. Его вершины совпадают с тремя вершинами правильного семиугольника, вписанного в описанную окружность. Анализ в комплексной плоскости показывает, что середины сторон и основания высот этого треугольника образуют шесть из семи вершин другого правильного семиугольника, центр которого совпадает с центром окружности девяти точек.