Номер 1279, страница 332 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 12 - номер 1279, страница 332.

Условие.

1279 На рисунке 370 изображён правильный десятиугольник, вписанный в окружность радиуса $R$, $AC$ — биссектриса угла $OAB$.

Докажите, что:

а) $\triangle ABC \sim \triangle OAB$;

б) $AB=AC=OC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}R$.

Рис. 370

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Поскольку правильный десятиугольник вписан в окружность с центром в точке $O$, треугольник $ΔOAB$, где $A$ и $B$ — соседние вершины десятиугольника, является равнобедренным ($OA = OB = R$, где $R$ — радиус окружности).

Центральный угол, опирающийся на сторону правильного десятиугольника, равен $∠AOB = \frac{360°}{10} = 36°$.

Так как $ΔOAB$ — равнобедренный, углы при его основании равны: $∠OAB = ∠OBA = \frac{180° - 36°}{2} = 72°$.

По условию задачи, $AC$ является биссектрисой угла $∠OAB$. Это означает, что $AC$ делит этот угол на два равных угла: $∠OAC = ∠CAB = \frac{72°}{2} = 36°$.

Рассмотрим треугольник $ΔABC$. Найдём его углы:

• $∠CAB = 36°$ (по определению биссектрисы).
• $∠ABC$ совпадает с углом $∠OBA$, поэтому $∠ABC = 72°$.
• Третий угол $∠BCA$ найдём из условия, что сумма углов треугольника равна $180°$: $∠BCA = 180° - (∠CAB + ∠ABC) = 180° - (36° + 72°) = 180° - 108° = 72°$.

Теперь сравним углы треугольников $ΔABC$ и $ΔOAB$.
Углы $ΔABC$: $∠CAB = 36°$, $∠ABC = 72°$, $∠BCA = 72°$.
Углы $ΔOAB$: $∠AOB = 36°$, $∠OAB = 72°$, $∠OBA = 72°$.

Мы видим, что $∠CAB = ∠AOB = 36°$ и $∠ABC = ∠OAB = 72°$. Поскольку два угла треугольника $ΔABC$ соответственно равны двум углам треугольника $ΔOAB$, эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Таким образом, $ΔABC \sim ΔOAB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Подобие треугольников $ΔABC$ и $ΔOAB$ доказано.

б)

Из решения пункта а) мы знаем углы треугольников. В треугольнике $ΔABC$ два угла равны: $∠ABC = ∠BCA = 72°$. Следовательно, $ΔABC$ является равнобедренным с основанием $BC$, и его боковые стороны равны: $AB = AC$.

Рассмотрим треугольник $ΔOAC$. Угол $∠OAC = 36°$. Угол $∠OCA$ является смежным с углом $∠BCA$, поэтому $∠OCA = 180° - ∠BCA = 180° - 72° = 108°$. Третий угол треугольника $ΔOAC$ равен $∠AOC = 180° - (∠OAC + ∠OCA) = 180° - (36° + 108°) = 36°$.

Поскольку в треугольнике $ΔOAC$ два угла равны: $∠OAC = ∠AOC = 36°$, он также является равнобедренным с основанием $AC$. Следовательно, $OC = AC$.

Объединяя полученные результаты, имеем $AB = AC = OC$.

Для нахождения длины этих сторон воспользуемся подобием $ΔABC \sim ΔOAB$. Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{AB}{OA} = \frac{BC}{AB} = \frac{AC}{OB}$

Обозначим искомую длину $AB = AC = OC$ через $x$. Тогда $OA = R$, $OB = R$, а $BC = OB - OC = R - x$. Подставим эти значения в пропорцию:

$\frac{x}{R} = \frac{R - x}{x}$

Решим полученное уравнение относительно $x$:
$x^2 = R(R-x)$
$x^2 = R^2 - Rx$
$x^2 + Rx - R^2 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по формуле:$x = \frac{-R \pm \sqrt{R^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-R^2)}}{2} = \frac{-R \pm \sqrt{R^2 + 4R^2}}{2} = \frac{-R \pm \sqrt{5R^2}}{2} = \frac{-R \pm R\sqrt{5}}{2}$.

Так как $x$ — это длина отрезка, она должна быть положительной величиной. Поэтому мы выбираем корень со знаком «плюс»:

$x = \frac{-R + R\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}R$

Таким образом, мы доказали, что $AB = AC = OC = \frac{\sqrt{5}-1}{2}R$.

Ответ: Равенство $AB = AC = OC = \frac{\sqrt{5}-1}{2}R$ доказано.